Přirozené číslo: Porovnání verzí

Přidáno 73 bajtů ,  před 7 měsíci
m
překlep, mezery
m (překlep, mezery)
| jazyk = cs-CZ
| datum přístupu = 2018-11-20
}}</ref> které lze použít k &nbsp;vyjádření [[Mohutnost množiny|mohutnosti (konečné) množiny]] (viz [[kardinální číslo]]), resp. počtu nějakých předmětů. Zejména ve starší literatuře se [[nula]] mezi přirozená čísla nepočítala, což vychází z &nbsp;použití přirozených čísel pro vyjadřování pořadí (viz [[ordinální číslo]]). Přirozená čísla patří mezi základní [[Matematika#Kvantita|matematické koncepty]], a &nbsp;protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel.
 
== Značení ==
[[Množina]] přirozených čísel se označuje velkým písmenem '''N''' (nebo zdvojeným písmenem <math>\mathbb{N}</math>).
 
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a &nbsp;jiní nezáporná celécelá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:
* pro [[Nezáporné číslo|nezáporná]] [[celé číslo|celá čísla]] (včetně [[Nula|nuly]]):
** '''N<sup>0</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{0}</math>, případně '''N<sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{N}_{0}</math>, nebo
** '''Z<sup>+</sup><sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>;
* pro [[Kladné číslo|kladná]] celá čísla, (bez [[Nula|nuly]]):
** '''N<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{+}</math>, nebo
** '''Z<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}</math>.
 
* Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost [[Matematický důkaz|důkazů]] technikou [[Matematická indukce|matematické indukce]].)
 
(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 &nbsp;v &nbsp;této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s &nbsp;funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)
 
== Konstrukce ==
: …atd.
 
Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo ''n'' vyjadřuje mohutnost množiny o &nbsp;právě ''n'' prvcích.
 
== Vlastnosti ==
 
* Množina přirozených čísel je [[Nekonečná množina|nekonečná]] (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak [[Spočetná množina|spočetná]] (podle definice).
* Na přirozených číslech můžeme definovat operaci [[sčítání]] takto: ''a'' + 0 = ''a'', ''a'' + ''S(b)'' = ''S(a + b)'' pro všechna ''a, b''. Tím se stane ('''N''', +) [[komutativní]]m [[monoid]]em s &nbsp;[[Neutrální prvek|neutrálním prvkem]] 0. Pokud definujeme ''S''(0) = 1, je ''S''(''a'') = ''S''(''a'' + 0) = ''a'' + ''S''(0) = ''a'' + 1, tzn. následníkem čísla ''a'' je číslo ''a'' + 1. Tento monoid je možné vnořit do [[Grupa|grupy]]; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou [[Celé číslo|celá čísla]].
* Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci [[násobení]] takto: ''a'' * 0 = 0, ''a'' * (''b'' + 1) = (''a'' * ''b'') + ''a''. Tím se stane ('''N''', *) komutativním monoidem s &nbsp;neutrálním prvkem &nbsp;1. Sčítání a &nbsp;násobení splňují [[distributivní zákon]]: ''a'' * (''b'' + ''c'') = (''a'' * ''b'') + (''a'' * ''c''). ('''N''', +, *) je tedy komutativním [[polookruh]]em.
* Na přirozených číslech lze definovat [[úplné uspořádání]], kdy ''a'' ≤ ''b'' právě tehdy, když existuje přirozené číslo ''c'' tak, že ''a'' + ''c'' = ''b''. Přirozená čísla jsou [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádaná]], tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má [[nejmenší prvek]].
* Na přirozených číslech neexistuje operace [[dělení]], neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady ''dělení se zbytkem'': pro libovolná dvě přirozená čísla ''a'', ''b'', kde ''b'' ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla ''r'' a ''q'', že platí ''a'' = ''bq'' + ''r'' a &nbsp;zároveň ''r'' &lt; ''b''. Číslu ''r'' pak říkáme [[zbytek po dělení]] čísla ''a'' číslem ''b'', číslo ''q'' je celočíselný podíl ''a'' a ''b''. Tato operace je základem mnoha vlastností ([[dělitelnost]]), postupů ([[Euklidův algoritmus]]) a &nbsp;idejí v [[Teorie čísel|teorii čísel]]. Na existenci a &nbsp;vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část [[kryptografie]].
 
== Externí odkazy ==