Neinerciální vztažná soustava: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Rozšíření o translační pohyb. |
Nějaké drobnosti, doplnění obecného pohybu a také komplexnějšího příkladu. značka: přepnuto z Vizuálního editoru |
||
Řádek 5:
Neinerciální vztažné soustavy se vzhledem k [[Inerciální vztažná soustava|inerciálním vztažným soustavám]] pohybují [[Nerovnoměrný pohyb|nerovnoměrně]] (s nenulovým [[Zrychlení|zrychlením]]). Stejně velké zrychlení, ale opačného směru, mají ''všechna'' tělesa v neinerciální vztažné soustavě (nepůsobí-li na ně další síla).
==
=== Pohybová rovnice pro
Pro vektor rychlosti platí vztah
:<math>\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d'\mathbf{v}}{dt}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}</math>,
Řádek 21:
kde <math>\mathbf{F}</math> je reálná (skutečná síla) působící na hmotný bod, <math>\mathbf{F}_E</math> je [[Eulerova síla|Eulerova síla]], <math>\mathbf{F}_C</math> je [[Coriolisova síla|Coriolisova síla]] a <math>\mathbf{F}_O</math> je [[Odstředivá síla|síla odstředivá]].
▲=== Pohybová rovnice pro translační soustavu ===
Uvažujme inerciální soustavu a neinerciální soustavu, která se vůči inerciální pohybuje obecným translačním pohybem <math>\mathbf{R}(t)</math>. Transformační vztah mezi souřadnicemi je dán ve tvaru
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}'+\mathbf{R}</math>.
Řádek 31 ⟶ 30:
kde <math>\mathbf{F}</math> je reálná (skutečná síla) působící na hmotný bod a <math>\mathbf{F}_S</math> je [[Setrvačná síla|setrvačná síla]].
=== Pohybová rovnice pro soustavu konající obecný pohyb ===
== Příklad ==▼
Pohybovou rovnici pro obecný pohyb získáme sloučením rovnic pro rotační a translační soustavu, čímž dostaneme rovnici ve tvaru
:<math>m\mathbf{a}'=m\mathbf{a}-m\mathbf{A}-m\mathbf{\epsilon}\times\mathbf{r}'-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}')=\mathbf{F}+\mathbf{F}_S+\mathbf{F}_E+\mathbf{F}_C+\mathbf{F}_O</math>.
▲== Příklad ==
Uvažujme inerciální soustavu, která je pevně spojena se Zemí o poloměru <math>R</math> (pro jednoduchost uvažujme Zemi jako homogenní kouli), neinerciální soustavu těsně nad povrchem Země do jejíž začátku ukazuje vektor <math>\mathbf{R}</math> a hmotný bod, který má vůči neinerciální soustavě polohový vektor <math>\mathbf{r}'</math>. Dále považujme vektor úhlové rychlosti Země <math>\mathbf{\omega}</math> za konstantní. Derivací polohového vektoru <math>\mathbf{R}</math> dostaneme
:<math>\frac{d\mathbf{R}}{dt}=\mathbf{V}=\mathbf{\omega}\times\mathbf{R}</math>.
Opětovnou derivací dostaneme zrychlení ve tvaru
:<math>\frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2}=\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}\times\mathbf{R}+\mathbf{\omega}\times\frac{d\mathbf{R}}{dt}=\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})</math>.
S ohledem na pohybovou rovnici soustavy konající obecný pohyb dostáváme rovnici ve tvaru
: <math>m\mathbf{a}'=\mathbf{F}-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}')</math>.
Jestliže jedinou reálnou silou je [[Newtonův gravitační zákon|gravitační síla]], jež má v inerciální soustavě tvar
: <math>\mathbf{F}_G=-G\frac{mM}{r^3}\mathbf{r}=m\mathbf{a}_G</math>,
kde M je celková hmotnost Země a <math>\mathbf{r}=\mathbf{R}+\mathbf{r}'</math> a <math>\mathbf{a}_g</math> je gravitační zrychlení, pak dosazením do předchozí rovnice dostaneme
: <math>m\mathbf{a}'=-G\frac{mM}{r^3}\mathbf{r}-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}')</math>.
Jestliže tato rovnice bude popisovat pohyb hmotného bodu blízko Zemského povrchu, pak si můžeme dovolit aproximaci <math>\mathbf{r}=\mathbf{R}+\mathbf{r}'\approx \mathbf{R}</math>. Na základě této aproximace můžeme zavést [[Tíhové zrychlení|tíhové zrychlení]] <math>\mathbf{g}</math>, které je ve tvaru
: <math>\mathbf{g}=-G\frac{M}{r^3}\mathbf{R}-\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})</math>.
Jelikož pro velikost úhlového zrychlení platí <math>\omega\ll1 </math>, můžeme poslední člen pohybové rovnice zanedbat, čímž dostáváme výslednou pohybovou rovnici, která je dobrou aproximací pohybu v blízkosti Zemského povrchu. Výsledná pohybová rovnice je ve tvaru
: <math>m\mathbf{a}'=m\mathbf{g}-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'=m\mathbf{g}+\mathbf{F}_C</math>.
== Reference ==
|