Verze z 25. 5. 2019, 22:18 editovat Blumentopf69 (diskuse \| příspěvky) 61 editací →‎Odvození vzorce za pomoci Newtonovy mechaniky: Fixed typo značky: editace z mobilu editace z mobilní aplikace editace z mobilní aplikace pro Android ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 6. 6. 2019, 03:48 editovat zrušit editaci TheRoyalAegis (diskuse \| příspěvky) 36 editací Lehká formalizace (pro začátek chyběla celková matematická definice) a odstranění chyb (především matematických, kterých tu bylo bohužel více). Odstranění jednoho zbytečného příkladu, který je přímo zahrnut v odvození, a úprava posledního, který pojednával o přeměně energie, ale pouze slovně. značky: první editace přepnuto z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 4: == Značení == * Značka: ~~běžně~~ <math>E_k</math>, v [[teoretická mechanika\|teoretické mechanice]] ~~často~~ <math>T</math> * [[fyzikální jednotka\|Jednotka]] [[soustava SI\|SI]]: [[joule]], značka: J * Další jednotky: viz [[Energie]] == Newtonovská (klasická) kinetická energie == ~~== Příklad ==~~ Kinetická energie v klasické mechanice je definována ve tvaru Vykoná-li [[síla]] působící na těleso s kinetickou energií <math>E_{k1}</math> [[Práce (fyzika)\|práci]] <math>W</math>, dojde ke změně kinetické energie na hodnotu <math>E_{k2}</math>, přičemž platí : <math>~~\Delta~~ E_k = E_\frac{k21}~~-E_~~{k12} ~~= W \,.~~mv^2</math>. ~~Změna kinetické energie je rovna [[Práce (fyzika)\|práci]], kterou vykoná [[výslednice sil\|výslednice]] působících sil.~~ ~~Pro elementární přírůstek lze psát~~ ~~: <math>\mathrm{d}E_k = \mathrm{d}W \,</math>~~ ~~[[Integrál\|Integrací]] elementárních přírůstků lze pak získat celkovou hodnotu kinetické energie.~~ ~~== Odvození vzorce za pomoci Newtonovy mechaniky ==~~ ~~Víme, že energie je práce, kterou vykonáme při urychlení tělěsa na určitou rychlost~~ ~~Můžeme tedy říct, že~~ ~~<math>E_k=W=F\times s</math>~~ ~~A víme, že podle druhého Newtonova zákona je síla <math>F=m\times a</math>, a dráha rovnoměrně zrychleného pohybu je <math>\frac{1}{2} \times a\times t^2</math>. Můžeme tedy dosadit:~~ ~~<math>E_k=m\times a\times \frac{1}{2}\times a\times t^2</math>~~ ~~Ve vzorci máme '''<math>a\times a</math>''', což je '''<math>a^2</math>''''','' a '''<math>t^2</math>'''. A protože rychlosti '''<math>v</math>''' je ''a×t'', můžeme říct~~ ~~<math>E_k=m\times a\times \frac{1}{2}\times a\times t^2=\frac{1}{2}\times(a\times t)^2\times m\Longrightarrow</math>finální vzorec...~~ ===Odvození vztahu=== ~~V rámci [[Newtonova mechanika\|Newtonovy mechaniky]] je tedy kinetická energie určena vztahem~~ Uvažujme hmotný bod o hmotnosti <math>m</math>, na který působí síla <math>\mathbf{F}</math>, pak pohybová rovnice jde zapsat v následujícím tvaru ~~: <big><math>E_k = \frac12 m \mathbf{v}^2</math></big>,~~ ~~kde~~: <math>\mathbf{F}=m~~</math> je [[hmotnost]] tělesa, <math>~~\frac{d\mathbf {v}}{dt}</math> ~~je [[rychlost]] tělesa.~~, kde <math>\mathbf{v}</math> je rychlost uvažovaného hmotného bodu v čase <math>t</math> (okamžitá rychlost). Tuto pohybovou rovnici skalárně vynásobíme rychlostí <math>\mathbf{v}</math> hmotného bodu (na sílu <math>\mathbf{F}</math> neklademe žádná omezení), čímž dostaneme : <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=m\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}</math>. Jelikož platí, že : <math>m\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)</math>, lze předchozí rovnici upravit : <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\frac{dE_k}{dt}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}</math>, kde <math>E_k</math> je ''kinetická energie'' hmotného bodu. Protože pro element práce platí <math>dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}</math>, pak z předchozí rovnosti vyplývá ~~== Odvození za pomocí hybnosti ==~~ : <math>dE_k=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=dW</math>, Místo rychlosti lze totéž vyjádřit pomocí [[hybnost]]i <math>\mathbf{p}=mv</math>.▼ a odtud integrací dostáváme : <big><math>E_k = {\mathbf{p}^2 \over 2m}</math></big>▼ : <math>\Delta E_k=\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=W</math>. ▲~~Místo rychlosti~~Alternativně lze ~~totéž~~kinetickou energii také vyjádřit pomocí ~~[[hybnost]]i~~hybnosti <math>\mathbf{p}=mvm\mathbf{v}</math>. Rychlost i hybnost jsou [[vektor]]y, proto by měly ve vztazích vystupovat jako vektory a nikoli [[skalár]]y. Zde však na jejich směru nezáleží – kinetická energie vyjde stejná, změní-li se směr pohybu a zachová-li se velikost rychlosti. Druhou [[mocnina\|mocninu]] vektoru rychlosti či hybnosti ve vzorcích je třeba chápat jako [[skalární součin]] vektoru se sebou samým. Výsledkem této operace je „shodou okolností“ druhá mocnina velikosti vektoru. ▲: ~~<big>~~<math>E_k = \frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}{2m}=\frac{p^2 ~~\over~~ }{2m}</math>~~</big>~~. == Speciální teorie relativity == Řádek 57 ⟶ 46: * Celková kinetická energie [[soustava hmotných bodů\|soustavy hmotných bodů]] je dána [[součet\|součtem]] kinetických energií jednotlivých [[hmotný bod\|hmotných bodů]]. == Příklad == Uvažujme izolovanou soustavu, pak platí zákon [[zákon zachování energie\|zákon zachování mechanické energie]], který lze formulovat ve tvaru ~~=== Přeměna energie polohové na pohybovou ===~~ : <math>\frac{dE}{dt}=\frac{d(E_k+E_p)}{dt}=0</math>, * Polohová energie tělesa v gravitačním poli Země se může měnit na pohybovou energii a který nám říká, že se kinetická energie v izolované soustavě mění na energii potenciální a naopak. Zaměříme-li se na homogenní tíhové pole Země (lze ho považovat za homogenní pro malé vzdálenosti od povrchu), pak tuto přeměnu lze jednoduše ilustrovat například na volném pádu z výšky <math>h</math>. ~~obráceně – kyvadlo, padající jablko ze stromu, vyhozený kámen směrem vzhůru…~~ :<math>\frac{1}{2}mv(t_0)^2+mgh(t_0)=\frac{1}{2}mv(t_d)^2+mg(t_d)\implies v=\sqrt{2gh(t_0)}</math>, ~~=== Přeměna energie pohybové na polohovou ===~~ kde <math>t_0</math> je počáteční čas, ve kterém má těleso ve výšce <math>h</math> nulovou rychlost, a <math>t_d</math> je čas dopadu. Výsledek lze jednoduše ověřit přímým výpočtem úlohy volného pádu. Nejdříve určíme čas dopadu * Polohová energie tělesa v gravitačním poli Země se může měnit na pohybovou energii a :<math>h-\frac{1}{2}gt_d^2=0\implies t_d=\sqrt{\frac{2h}{g}}</math>, ~~obráceně- jako příklad můžeme uvést jedoucí výtah, který by postupně zastavoval.~~ čímž dosazením za rychlost dostáváme výsledek, který je v souladu se zákonem zachování energie :<math>v(t_d)=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}</math>. == Související články ==

Kinetická energie: Porovnání verzí