Prvočíselná věta: Porovnání verzí

Zhruba se dá prvočíselná věta vyjádřit tak, že kdyžpři vyberemenáhodném náhodněvýběru čísločísla blízko nějakého velkého čísla ''N'', pak pravděpodobnost, že našetoto číslo bude prvočíslem, je přibližně 1/ln(''N''), kde ln(''N'') značí [[logaritmus|přirozený logaritmus]] ''N''. Např.Například kolem ''N'' = 10 000 je přibližně jedno z devíti čísel prvočíslem, zatímco poblíž např. ''N'' = 1 000 000 000 je pouze jedno z 21 čísel prvočíslem. Jinými slovy můžemelze říct, že průměrná mezera mezi dvěma prvočísly blízko ''N'' je zhruba ln(''N'').

Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''., Např.Například π(10) = 4, neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujemese vyjadřuje vzorcem

: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1</math>,

pomocí asymptotické notace můžemeje možné totéž vyjádřit také zápisem

Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když ''x'' jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problémuproblémů matematiky: [[Riemannova hypotéza|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.

Konkrétnější úvahy nad asymptotickým vyjádřením četnosti prvočísel se nacházejí již u [[Carl Friedrich Gauss|Carla Friedricha Gausse]] na přelomu 18. a 19. století. Během 19. století se pokusili PČV dokázat [[P.Pafnutij L.Lvovič Čebyšev]] a [[Bernhard Riemann|G. F. B. Riemann]]. Avšak první důkaz podali nezávisle na sobě francouzský matematik [[Jacques Hadamard]] <ref>{{citace monografie

}}</ref> podal německý matematik [[Edmund Landau]] v roce [[1909]] a v roceroku [[1949]] objevil elementární<!-- Elementární zde neznamená jednoduchý, ale že nebyl proveden pomocí metod komplexní analýzy. --> důkaz<ref>{{citace monografie