Kvadratura kruhu: Porovnání verzí

 

'''Kvadratura [[kruh]]u''' je úloha sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu, a to pouze pomocí pravítka a kružítka. Je to jeden ze tří nejslavnějších [[Starověk|antických]] [[konstrukce (geometrie)|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[zdvojení krychle]] a [[trisekce úhlu]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto problémy byly formulovány již v [[5. století př. n. l.]] a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou geometricky neřešitelné. Od nejstarších dob se však užívala různá přibližná řešení.

== Přesné zadání úlohy ==

Obecné zadání úlohy '''kvadratura kruhu''' zní v jazyce moderní [[matematika|matematiky]] takto:

Poněkud méně formálně:

Klíčová je podmínka, že to má být euklidovská konstrukce, čili používat jen pravítka a kružítka.

 

== Důkaz neřešitelnosti ==

Označme '''a''' stranu čtverce a '''r''' poloměr kruhu. Řešíme problém <math>a^2=\pi*r^2</math>. Pokud zvolíme kruh o poloměru r = 1, pak <math>a^2=\pi</math>, a tedy <math>|a|=\sqrt\pi

 

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla <math>\sqrt{\pi}</math>. Problém je, že toto číslo je [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Neboli není [[algebraické číslo|algebraické]], a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla [[Pí (číslo)|π]] byla dokázána roku [[1882]] [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinandem von Lindemannem]]. Pokud by někdo měl vyřešit kvadraturu kruhu, musel by k tomu nutně nalézt algebraickou hodnotu <math>\pi</math>, což není možné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, je kvadratura také možná.

I když kvadratura kruhu není uskutečnitelná v [[Eukleidovský prostor|Euklidově prostoru]], je možná v [[Hyperbolická geometrie|Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru]].

== Přibližná řešení ==

 

 

Podstatně lepší přiblížení nalezl [[Archimédés]] (287-212 př. n. l.), který místo obsahu kruhu hledal jeho obvod. Přibližoval se k němu posloupností pravidelných mnohoúhelníků o stále větším počtu stran a správně předpokládal, že obvod kruhu musí ležet mezi obvodem vepsaného a opsaného mnohoúhelníka. Jeho výsledný údaj byl, že obvod kruhu je větší než 3+¹⁰/₇₁ a menší než 3+¹⁰/₇₀, což odpovídá hodnotě čísla π mezi 3,1408 a 3,1428, přibližně tedy 3,1419. Chyba jeho přiblížení činí méně než 0,05 % a je tedy pro většinu praktických použití zanedbatelná. Roku 1685 objevil polský matematik [[Adam Kochanski]] poměrně jednoduchou [[Eukleidovská konstrukce|euklidovskou konstrukci]], která odpovídá hodnotě čísla π asi 3,141533... a je tedy ještě o dva řády přesnější.

 

Po objevu analytické geometrie v 17. století ([[Pierre de Fermat]], [[René Descartes]]) se přibližné hodnoty čísla π začaly hledat pomocí nekonečných řad a počátkem 18. století bylo známo na 100 desetinných míst. Dnes je k dispozici v téměř libovolné délce, takže úloha kvadratury kruhu ztratila praktický význam a už v 17. století byli matematici přesvědčeni, že není řešitelná. Kvadratura kruhu se však stala tak populární, že další a další laici hlásili, že úlohu vyřešili. Francouzská akademie se proto roku 1775 usnesla, že nadále nebude zkoumat žádné zprávy o vyřešení tří klasických problémů matematiky, stejně jako zprávy o sestrojení [[Perpetuum mobile|perpetua mobile]].