Wikipedie

Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m Jazyková oprava, překlepy, uvozovky, pomlčky
Řádek 9:
 
== Důvod vzniku ==
K převážné většině matematických konstrukcí (včetně pokročilých, jako je [[Úplný obal|úplný obal metrického prostoru]]) stačí [[Naivní teorie množin|intuitivní (naivní) teorie množin]], v níž intuitivně pracujeme s množinami jako se souhrny objektů. Tento přístup však vede k rozporům, pokud pracujeme s "příliš„příliš velkými"velkými“ množinami (nejznámější z těchto sporů je [[Russelův paradox]]). Vzato do důsledků, [[naivní teorie množin]] je [[Bezesporná teorie|sporná]] a proto v ní lze dokázat cokoli (např. že 1+1=42).
 
V reakci na tyto rozpory vznikla axiomatická teorie množin, která staví dokazatelnost matematických pravd na pevný základ. Její hlavní přednosti oproti naivní teorii jsou tyto:
Řádek 20:
 
=== Proč množiny? ===
Při konstrukci teorie, která má obsáhnout celou matematiku, není možné do ní přidat všechny druhy objektů -– například přidat [[Predikátová logika|predikát]] „tento objekt [[Predikátová logika|univerza]] je [[Přirozená čísla|přirozené číslo]]“ (podobně, jako GB má predikát „[[Gödel-Bernaysova teorie množin#Vztah NBG a ZFC|tento objekt je množina]]“) a vložit axiomy, které chování přirozených čísel popisují (např. [[Peanovy axiomy]]).
 
Při takovém přístupu by se množina predikátů a axiomů neustále rozrůstala, například po objevení [[Komplexní číslo|komplexních čísel]], [[Hyperkomplexní číslo|hyperkomplexních čísel]] apod. S&nbsp;každým rozšířením by se musely znovu dokazovat výsledky o&nbsp;teorii dokázané (například to, že nějaké tvrzení je v&nbsp;této teorii [[Nezávislé tvrzení|nezávislé]]).{{Doplňte zdroj}}<ref group="pozn">Stačí si uvědomit, že s&nbsp;každým přidaným (z&nbsp;ostatních axiomů neodvoditelným) axiomem se rozšiřuje množina dokazatelných tvrzení, a navíc se může stát, že naše teorie se stane spornou (tedy se dá dokázat nějaké tvrzení i&nbsp;jeho negace).</ref>
Řádek 31:
Proto ZF vychází z&nbsp;předpokladu, že všechny matematické objekty jsou množiny, a její axiomy poskytují možnost z&nbsp;množin konstruovat množiny složitější. Prvek množin tedy mohou být opět jen množiny.
 
Matematické objekty, se kterými chceme pracovat, pak ztotožníme s&nbsp;vhodnými množinami -– víme, jaké vlastnosti očekáváme od přirozených čísel (například že ke každému číslu existuje číslo o&nbsp;jedničku větší), a proto zvolíme množiny, které odpovídající vlastnost mají.
 
=== Uspořádané dvojice ===
Řádek 66:
Podobně se postupuje i&nbsp;u&nbsp;dalších matematických operací.
 
Za pozornost stojí i&nbsp;skutečnost, že totéž číslo (například 2) je reprezentováno jinak jako přirozené číslo než jako celé číslo. Množina přirozených čísel tedy formálně není podmnožinou množiny celých čísel. S&nbsp;podobným jevem se v&nbsp;teorii množin setkáváme velmi často; tento přístup je volen proto, abychom nemuseli změnit reprezentaci množiny, pokud konstruujeme její rozšíření -– například kdyby [[komplexní čísla]] a [[kvaterniony]] (což jsou oboje rozšíření [[Reálná čísla|reálných čísel]]) byly objeveny až poté, co byla ustálena konvence, jak reálná čísla v&nbsp;teorii množin reprezentovat.
 
=== Racionální čísla ===
Řádek 84:
V&nbsp;této definici <math>Z</math> značí množinu celých čísel definovanou výše a zápis <math> b<>0 </math> se týká nuly jako celého čísla, což je formálně jiný objekt, než nula jako přirozené číslo.
 
Definice sčítání, násobení apod. odvodíme podobným způsobem, jako u&nbsp;celých čísel.
 
=== Reálná čísla ===
Řádek 92:
[[Gödelovy věty o neúplnosti]] říkají, že je-li nějaká [[Predikátová logika|predikátová teorie]] bezesporná, [[Rekurzivně spočetný jazyk|rekurzivně axiomatizovatelná]] a dokazuje základní [[Aritmetika|aritmetické]] pravdy, pak není [[Úplná teorie|úplná]] a neumí dokázat svoji bezespornost.
 
V&nbsp;každé teorii, kterou chceme pokládat za popis všech matematických pravd, musí být dokazatelné základní aritmetické pravdy a měl by existovat algoritmus, kterým ověříme, zda dané tvrzení je axiomem; bez takového algoritmu je teorie nepoužitelná k&nbsp;praktickým účelům.<ref group=pozn>Gödelovy věty o&nbsp;neúplnosti vyžadují [[rekurzivně spočetný jazyk]], což je slabší podmínka, než [[rekurzivní jazyk]]. '''Teorie používané v&nbsp;praxi ovšem splňují mnohem přísnější podmínky''', než existence obecného (neomezeně složitého) algoritmu; viz například [[schéma nahrazení]] nebo [[schéma indukce]] -– jsou definovány jednoduchými operacemi s&nbsp;řetězci. Do tohoto schématu patří každý řetězec znaků. který vznikne dosazením libovolné [[Formule (logika)|formule]] do předem daného řetězce. <br />Příkladem '''teorie, která není rekurzívně spočetná''' (tj. nesplňuje ani nejslabší z&nbsp;výše uvedených podmínek) je teorie v&nbsp;jazyce [[Peanova aritmetika|Peanovy aritmetiky]] (PA), která obsahuje jako axiomy všechny formule, které jsou pravdivé ve struktuře přirozených čísel (tato struktura je jen jeden z&nbsp;mnoha možných modelů PA). Je tedy [[Rozšíření predikátové teorie|rozšířením]] PA, ovšem na rozdíl od ní umí dokázat, že PA je [[Bezesporná teorie|bezesporná]]. Tato teorie by byla pro mnoho praktických účelů užitečnější, než PA, ale je v&nbsp;praxi nepoužitelná, neboť neexistuje způsob, jak ověřit, zda nějaké tvrzení je nebo není jejím axiomem.</ref>
 
Z&nbsp;toho plyne, že je-li tato teorie bezesporná, pak pro ni platí obě Gödelovy věty o&nbsp;neúplnosti a její bezespornost není nikdy možné dokázat.<ref group=pozn>To platí proto, že teorie, jejíž bezespornost zkoumáme, je zároveň teorií, které věříme, že popisuje platné matematické pravdy. Pokud zkoumáme nějakou slabší teorii, například PA, pak na důkaz její bezespornosti sice nestačí PA, ovšem stačí na ni naše „znalost matematiky“ (která je reprezentována například teorií [[ZFC]]); v&nbsp;té lze ukázat, že přirozená čísla tvoří model PA a z&nbsp;toho odvodit její bezespornost).</ref> V&nbsp;její bezespornost matematická komunita pevně věří, protože spor nebyl objeven přes téměř celé století, kdy je tato teorie používána. Pro ZFC, která je běžně přijímána jako popis všech matematických pravd, jsou tedy dvě možnosti:
Řádek 107:
Bezespornost ZFC je možno snadno dokázat v&nbsp;nějaké silnější teorii (např. [[Kelleyova-Morseova teorie množin|Kelleyova-Morseova teorie]] s&nbsp;axiómem výběru), ovšem to nemá žádnou váhu pro ověření, že je skutečně bezesporná. Kdybychom si byli jisti bezesporností KM+AC, nemuseli bychom ověřovat bezespornost ZFC, která z&nbsp;ní plyne. A&nbsp;pokud si nejsme jisti ani bezesporností KM+AC, tím méně můžeme spoléhat, že každé tvrzení v&nbsp;ní dokazatelné je pravdivé (což je podstatně silnější tvrzení: například PA s&nbsp;přidaným axiomem „PA je sporná“ je bezespornou teorií).
 
Nerozhodnutelná tvrzení v&nbsp;teorii množin mají nejen akademický význam, ale týkají se i&nbsp;"praktičtějších"„praktičtějších“ oblastí matematiky, jako je [[Matematická analýza]] (příkladem je [[Hypotéza kontinua]]). Bez axiomu výběru je nerozhodnutelná i&nbsp;řada zcela fundamentální faktů pro práci v&nbsp;matematice, například zda je každá funkce [[Lebesgueův integrál|Lebesgueovsky integrovatelná]] a zda je [[kartézský součin]] neprázdných množin vždy neprázdný.
 
== Historie ==
Řádek 118:
Prvním vážným pokusem o&nbsp;přesný popis těchto objektů byla práce [[Bernard Bolzano|Bernarda Bolzana]], jenž zavedl pojem množina a zkoumal vlastnosti nekonečných množin. Na toto téma napsal knihu [[Paradoxy nekonečna]] (Paradoxien des Unendlichen), která byla vydána až po jeho smrti.
 
Opravdovým zakladatelem teorie množin je Georg Cantor, který zavedl pojmy jako [[potenční množina]], [[ordinál]] či [[kardinální číslo|kardinál]]. Též dokázal existenci [[nespočetná množina|nespočetných množin]]. K&nbsp;tomu použil zcela nový důkazní prostředek, dnes nazývaný [[Cantorova diagonální metoda]]. Později dokázal takzvanou [[Cantorova věta|Cantorovu větu]] tvrdící, že ke každé množině existujiexistuje množina o&nbsp;větší [[mohutnost]]i -– její potenční množina. Používal tuto definici množiny: ''„Množinou A&nbsp;rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v&nbsp;naší mysli. Těmto objektům říkáme prvky množiny A.“''.<ref>[ftp://math.feld.cvut.cz/pub/velebil/yd01mlo/handout01.pdf Jiří Velebil, Naivní teorie množin, 27. února 2008: 15/16]</ref> Tato teorie dosáhla vynikajících výsledků, avšak na přelomu devatenáctého a dvacátého století se v&nbsp;ní objevili antinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin; viz níže).
 
=== Paradoxy naivní teorie množin a počátky axiomatické teorie množin ===
 
Na přelomu 19. a 20. století sebyly v naivní teorii množin byly objeveny antinomie (takzvané [[paradoxy naivní teorie množin]]). První se týkaly pouze velmi velkých souborů;, jako je množina všech [[ordinální číslo|ordinálních čísel]] ([[Burali-Fortiho paradox]]) anebo množina všech množin ([[Cantorův paradox]]). Těmto antinomiím se nepřikládal velký význam, neboť se předpokládalo, že zpřesněním práce s tak velkými soubory se odstraní.
 
Opravdovým problémem se ukázal [[Russellův paradox]], týkající se množiny, která je definována jednoduchou formulí. Russellův paradox se dá popsat takto: ''„Mějme množinu <math>\left \{ x|x \notin x \right \}</math> všech množin, které nejsou prvky samy sebe. Je tato množina svým prvkem? Obě možné odpovědi vedou ihned ke sporu.
Řádek 143:
'''Zermelova-Fraenkelova teorie množin''' je dnes neužívanější ze systémů axiomatické teorie množin{{Doplňte zdroj}}, která je sama o&nbsp;sobě nebo v&nbsp;některých mírných modifikacích (zejména s&nbsp;přidaným [[axiom výběru|axiomem výběru]]) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky včetně algebry a matematické analýzy.{{Doplňte zdroj}} Tento systém nedefinuje [[třída (matematika)|třídy]], ty jsou jen součástí [[metajazyk]]a.{{Doplňte zdroj}}
 
Mezi tvrzení nerozhodnutelná v&nbsp;této teorii nerozhodnutelné tvrzení patří například [[axiom výběru]], [[hypotéza kontinua]], [[Axiom konstruovatelnosti]] a [[Suslinova hypotéza]]{{Doplňte zdroj}}. Všechny výsledky tohoto druhu (že něco nejde z&nbsp;axiomů ZFC dokázat) jsou ovšem formulovány s&nbsp;podmínkou „Pokud je ZFC bezesporná“{{Doplňte zdroj}}, neboť její bezespornost nelze ověřit.
 
Je založena na těchto axiomech<ref name="BŠ axiomy ZF">{{Citace monografie
Řádek 192:
==== Zermelova-Fraenkelova teorie množin s&nbsp;axiomem výběru ====
{{Viz též|ZFC}}
Zkratkou '''ZFC''' je označována axiomatická soustava teorie množin, kterou tvoří axiomy Zermelo-Fraeneklovy teorie množin a [[axiom výběru]] (zkratka AC -– z&nbsp;anglického ''axiom of choice'').
* '''Axiom výběru''': Na každé množině existuje [[selektor]].<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Balcar
Řádek 216:
=== Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin ===
{{Viz též|Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin}}
'''Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin''' ('''NBG''', též '''(Von Neumannova)-Gödelova-Bernaysova teorie množin''', '''NGB''', '''GB''') se z&nbsp;hlediska své síly příliš neliší od ZF či ZFC —– libovolný výrok o&nbsp;množinách je v&nbsp;'''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v&nbsp;'''ZF''' —– mluvíme tedy o&nbsp;teorii '''NBG''' jako o&nbsp;[[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''ZF''' (říkáme také, že '''NBG''' a '''ZF''' jsou ekvikonzistentní).<ref name="MathWorldNBG">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Szudzik
| jméno = Matthew
Řádek 227:
}}</ref><ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | kapitola = Paragraf 4 | strany = 55 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref> Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v&nbsp;použitém jazyku a v&nbsp;počtu axiomů. NBG jich má konečný počet díky použití vlastních tříd.<ref name="MathWorldNBG" /><ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | strany = 19 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref>
 
Na rozdíl od '''ZFC''', jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v&nbsp;'''NBG''' jsou množiny i&nbsp;třídy objektem teorie množin —– na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení —– jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:
: <math>\scriptstyle Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math>.
Někdy se k&nbsp;axiomům '''NBG''' přidává ještě takzvaný axiom výběru či [[Axiom silného výběru|silný axiom výběru]]. Výsledná teorie se pak značí '''NBG+AS'''{{Doplňte zdroj}}.
 
Na rozdíl od '''ZF''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů —– nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.<ref name="MathWorldNBG" /><!-- A radši ještě jeden -->
 
Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné){{Doplňte zdroj}}:
Řádek 243:
=== Kelleyova-Morseova teorie množin ===
{{Viz též|Kelleyova-Morseova teorie množin}}
'''Kelleyova-Morseova teorie množin''' (označovaná též '''KM''') je teorie silnějšíchsilnější než jsou klasické axiomatizace Zermelova-Fraenkelova (ZF) a Von Neumannova-Gödelova-Bernaysova (NGB).<ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | kapitola = Paragraf 2 | strany = 47 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref> V&nbsp;'''KM''' je dokazatelná (formální) konzistence '''ZF'''{{Doplňte zdroj}}.
 
Axiomatizace '''KM''' je velmi podobná axiomatizaci '''GB''', liší se pouze ve schématu existence tříd, kde (na rozdíl od '''GB''') připouští existenci třídy odpovídající libovolné formuli. Tato zdánlivě drobná odlišnost je však příčinou toho, že '''KM''' je nesrovnatelně silnější teorií než '''GB''' i&nbsp;'''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]'''.{{Doplňte zdroj}}
Řádek 266:
 
Často se používá ve schématu vydělení koncept vrstvené formule (anglicky: stratified formula). (Řekneme, formule <math>\phi</math> je vrstvená, jestliže existuje [[funkce (matematika)|funkce)]] f taková, že všem objektům univerza vrátí přirozené číslo a pro <math>x \in y</math> platí <math>f(y) = f(x) + 1</math> a pro <math>x=y</math> platí <math>f(y) = f(x)</math>. Schéma axiomů vydělení pak zní:
:<math>\{x \mid \phi \}</math> existuje pro každou vrstvenovrstvenou formuli <math>\phi</math>.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ Forster, Thomas, "Quine's&nbsp;New Foundations", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.)]</ref>
 
=== Teorie polomnožin ===
{{Viz též|Teorie polomnožin}}
'''Teorie polomnožin''' byla vyvinuta v&nbsp;70. a 80. letech [[20. století]] [[Petr Vopěnka|Petrem Vopěnkou]] a [[Petr Hájek (matematik)|Petrem Hájkem]]{{Doplňte zdroj}}. Její axiomatizace je podobná Von Neumannově-Gödelově-Bernaysově teorii množin, ale liší se tím, že umožňuje existenci vlastních tříd, které jsou částí nějaké množiny (<math>\scriptstyle X \subseteq y</math>). Tato vlastnost umožňuje polomnožinám sloužit jako základ Vopěnkovy [[alternativní teorie množin]]<ref>http://eom.springer.de/A/a110560.htm Springer, Encyclopaedia of Mathematics: Petr Vopěnka - Alternative set theory<!-- do šablony --></ref>
 
=== Axiomatizace konečných množin ===
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Axiomatická_teorie_množin“