Náhodná veličina: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
Změna odkazu, doplnění textu, odstranění omylem vsunutého textu
Zobecněná definice, E je obvykle množina reálných čísel, +Intuitivní význam
Řádek 1:
'''Náhodná veličina''' (používají se i různé kombinace slov '''náhodná''', '''stochastická''' nebo '''náhodová''' a '''proměnná''' nebo '''veličina''') je libovolná [[veličina]], kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami [[teorie pravděpodobnosti]] nebo [[Matematická statistika|matematické statistiky]]. Příkladem může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.
 
Intuitivně je '''náhodná veličina''' [[Zobrazení (matematika)|funkce]], která přiřazuje každému [[Náhodný jev|elementárnímu náhodnému jevu]] nějakou (zpravidla [[Reálné číslo|číselnou]]) hodnotu (například při hodu mincí „[[Panna (mince)|hlavě]]“ nulu a „[[Orel (mince)|orlu]]“ jedničku).
 
== Formální definice ==
Řádek 7 ⟶ 9:
** <math>\mathcal{F}</math> je libovolný [[Potenční množina|systém podmnožin]] <math>\Omega</math>, který tvoří [[Sigma algebra|<math>\sigma</math>-algebru]], a
** <math>P</math> je [[pravděpodobnost]], čili [[Teorie míry|míra]] na <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> (tj. zobrazení, které každé podmnožině <math>\Omega</math>, která je zároveň prvkem <math>\mathcal{F}</math>, přiřadí nezáporné reálné číslo), která je normovaná tak, že <math>P(\Omega) = 1</math>
* <math>(RE,\mathcal{B})</math> je množina všech [[Reálné číslo|reálnýchměřitelný číselprostor]] s [[Borelovská sigma algebra|borelovskou <math>\sigma</math>-[[Sigma algebra|algebrou]] podmnožin <math>\mathcal{B}</math>;
'''Náhodnou veličinou''' pak nazýváme každé [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] přiřazujícíz [[ElementárníProstor jevelementárních jevů|elementárnímuprostoru jevuelementárních jevů]] <math>\Omega</math> do [[reálnéMěřitelný čísloprostor|měřitelného prostoru]] <math>E</math>, tj. <math>X: \Omega \to RE</math>, pokud je [[Měřitelná funkce|měřitelné]], t.j. pokud pro každou množinu <math>B \in \mathcal{B}</math> platí, že <math>\lbrace \omega; \omega \in \Omega, X(\omega) \in B \rbrace \in \mathcal{F}</math>. Zpravidla se jako <math>E</math> používá množina všech [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math>\mathbb{R}</math> nebo nějaká její vhodná [[podmnožina]].
 
Ekvivalentně platí, že <math>X</math> je náhodná veličina právě tehdy když pro každé reálné číslo <math>x</math> platí <math>\lbrace \omega; \omega \in \Omega, X(\omega) < x \rbrace \in \mathcal{F}</math> (nerovnost může být i neostrá nebo obrácená).