Cauchyova–Goursatova věta: Porovnání verzí

m
pravopis
m (Dvorapa přesunul stránku Cauchyova-Goursatova věta na Cauchyova–Goursatova věta: pravopis)
m (pravopis)
'''Cauchyova-GoursatovaCauchyova–Goursatova věta''' (také '''Cauchyova věta''' nebo '''Cauchyova věta o integrálech''') je věta z oblasti [[Komplexní analýza|komplexní analýzy]]. Říká, že integrály [[Holomorfní funkce|holomorfních funkcí]] po uzavřených [[Křivka|křivkách]] jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 [[Augustin Louis Cauchy]] a později ji zobecnil [[Edouard Goursat]].
 
Věta zní takto: Nechť '''G''' je [[Jednoduše souvislá množina|jednoduše souvislá]] a [[otevřená množina]] komplexních čísel a ''f'' je holomorfní funkce definovaná v '''G'''. Nechť ''C'' je Jordanova křivka (tj. jednoduchá uzavřená rektifikovatelná křivka) v '''G''', která je po částech hladká. Pak integrál ''f'' po křivce ''C'' se rovná nule. Zapsáno rovnicí:
Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti integrálů po uzavřených křivkách vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá [[Morerova věta]].
 
Větu lze dále zobecnit pro případ, že uvnitř křivky ''C'' se nacházejí oblasti, na kterých funkce ''f'' není holomorfní nebo není definovaná, ale tyto oblasti jsme schopni omezit po částech hladkými Jordanovými křivkami. '''Obecná''' '''Cauchyova-GoursatovaCauchyova–Goursatova věta''' zní:
 
Nechť ''C'' a ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> jsou po částech hladké a souhlasně orientované Jordanovy křivky, nechť ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> leží uvnitř C a vnitřky křivek ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> jsou navzájem disjunktní. Nechť ''f'' je holomorfní na křivce ''C'' a na jejím vnitřku s případnou výjimkou vnitřků křivek ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub>. Pak platí