Cauchyova–Goursatova věta: Porovnání verzí

Přidáno 1 043 bajtů ,  před 3 lety
Původ věty. Důkaz.
(Obecná věta.)
značka: editor wikitextu 2017
(Původ věty. Důkaz.)
značka: editor wikitextu 2017
'''Cauchyova-Goursatova věta''' (také '''Cauchyova věta''' nebo '''Cauchyova věta o integrálech''') je věta z oblasti [[Komplexní analýza|komplexní analýzy]]. Říká, že integrály [[Holomorfní funkce|holomorfních funkcí]] po uzavřených [[Křivka|křivkách]] jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 [[Augustin Louis Cauchy]] a později ji zobecnil [[Edouard Goursat]].
 
Věta zní takto: Nechť '''G''' je [[Jednoduše souvislá množina|jednoduše souvislá]] a [[otevřená množina]] komplexních čísel a ''f'' je holomorfní funkce definovaná v '''G'''. Nechť ''C'' je Jordanova křivka (tj. jednoduchá uzavřená rektifikovatelná křivka) v '''G''', která je po částech hladká. Pak integrál ''f'' po křivce ''C'' se rovná nule. Zapsáno rovnicí:
 
:<math>\oint_C f(z)\,dz = 0. </math>
 
Nejjednodušší důkaz se zakládá na tom, že se integrál rozepíše na reálnou a imaginární část, pomocí [[Greenova věta|Greenovy věty]] převede na integrál přes vnitřek křivky ''C'' a na základě [[Cauchyho–Riemannovy podmínky|Cauchyho–Riemannových podmínek]] se ukáže, že integrand se rovná konstantně nule. Jestliže tedy <math> \displaystyle f=u+iv </math>
a <math> \displaystyle dz=dx+i\,dy </math>, pak
 
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \oint_C (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_C (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy).</math>
 
Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty:
 
:<math>\oint_C (u\,dx-v\,dy) = \iint_{vnit. C} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy, </math>
:<math>\oint_C (v\,dx+u\,dy) = \iint_{vnit. C} \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy,</math>
 
přičemž integrandy jsou podle Cauchyho–Riemannových podmínek nulové, čímž je tvrzení dokázáno.
 
Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti všech křivkových integrálů vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá [[Morerova věta]].