Charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti): Porovnání verzí

m
Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
m (WPCleaner v1.41b - Fixed using WP:WCW (Odkaz shodný se svým popisem))
m (Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap)
 
 
== Definice ==
Nechť <math>X</math> je náhodná proměnná a nechť <math>F(x)</math> je její [[distribuční funkce]]. Komplexní funkce reálné proměnné <math>\varphi_X(t): \R \rightarrow \CComplex</math> definovanou vztahem:
 
:<math>\varphi_X(t) = E\left[e^{itX}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}dF(x) \quad \left( = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\,dx \right)</math>
je charakteristická funkcí náhodné veličiny <math>X</math>.
 
V uvedeném vztahu písmeno <math>i</math> označuje tzv. [[Imaginární jednotka|imaginární jednotku]] [[Komplexní číslo|komplexního čísla]] <math>a + ib</math>, <math>\R</math> je množina reálných čísel, <math>\CComplex</math> je množina komplexních čísel a <math>t \in \R</math>. Pro imaginární jednotku uvedenou v definici platí známý vztah: <math>i^2 = -1</math>. Ve výrazu v závorce na konci vztahu označuje symbol <math>f_X(x)</math> [[Hustota rozdělení|hustotu náhodné veličiny]]. Poslední rovnost ovšem platí pouze v tom případě, pokud existuje hustota náhodné veličiny (pokud neexistuje, pak samozřejmě nemůžeme charakteristickou funkci pomocí ní vyjádřit).
 
Dále můžeme definovat vztah pro <math>e^{it}</math> následovně:
::<math>\varphi_X(t) = E\left[e^{i \operatorname{tr}(t^{T}X)}\right]</math>
 
* V případě, že <math>X</math> je [[komplexní náhodná proměnná]] a <math>t \in \CComplex</math>, pak pro charakteristickou funkci platí následující vztah:
::<math>\varphi_X(t) = E\left[e^{i\operatorname{Re}(\overline{t}X)}\right]</math>
 
* V případě, že <math>X</math> je [[komplexní náhodný vektor]] a <math>t \in \CComplex^{k}</math>, pak pro jeho charakteristickou funkci platí zase následující vztah:
::<math>\varphi_X(t) = E\left[e^{i\operatorname{Re}(t^{*}X)}\right]</math>