Mayerův vztah: Porovnání verzí

Přidáno 198 bajtů ,  před 1 rokem
m
Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
(uprava odvození)
Značky: editace z Vizuálního editoru školní IP
m (Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap)
 
 
== Odvození pro ideální plyn<ref>{{Citace monografie|příjmení = Novák|jméno = Josef|příjmení2 = |jméno2 = |titul = Prof. Ing.|vydání = |vydavatel = Vydavatelství VŠCHT|místo = Praha|rok = 1999|počet stran = 229|strany = 109-110|isbn = 80-7080-360-6}}</ref> ==
<math> C_p - C_V = \left( \frac{\partpartial H}{\partpartial T}\right)_p - \left(\frac{\partpartial U}{\partpartial T}\right)_V = \left( \frac{\partpartial (U+pV)}{\partpartial T}\right)_p - \left( \frac{\partpartial U}{\partpartial T}\right)_V = \left( \frac{\partpartial U}{\partpartial T}\right)_p + p\left( \frac{\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p - \left( \frac{\partpartial U}{\partpartial T}\right)_V </math>
 
[[Entalpie]] <math> H </math> je definována vztahem
kde <math> U </math> je vnitřní energie soustavy, <math> p </math> je její tlak a <math> V </math> objem.
 
Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž <math> \left(\frac {\partpartial U}{\partpartial T}\right)_p </math> je nutno přepsat jako <math> \left( \frac{\partpartial U(T,V(p,T))}{\partpartial T}\right)_p </math>
 
<math> \left( \frac{\partpartial U(T,V(p,T))}{\partpartial T}\right)_p = \left( \frac{\partpartial U}{\partpartial T}\right)_V + \left( \frac{\partpartial U}{\partpartial V}\right)_T\left( \frac{\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p </math>
 
Po dosazení do odvození dostaneme
 
<math> C_p - C_V = p\left(\frac {\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p + \left( \frac{\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p\left(\frac {\partpartial U}{\partpartial V}\right)_T = \left(\frac {\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p \left[p+\left( \frac{\partpartial U}{\partpartial V}\right)_T \right] </math>
 
Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme
 
<math> \left( \frac{\partpartial U}{\partpartial V}\right)_T = T\left(\frac {\partpartial S}{\partpartial V}\right)_p - p = T\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial T}\right)_V - p </math>
 
Dalším dosazením do odvození se výraz změní na
 
<math> C_p - C_V = T\left(\frac {\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial T}\right)_V </math>
 
Ze vzorce derivace implicitní funkce
 
<math> \left(\frac {\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p\left(\frac {\partpartial T}{\partpartial p}\right)_V\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial V}\right)_T = -1 </math>
 
vyjádříme
 
<math> \left(\frac {\partpartial V}{\partpartial T}\right)_p=-\frac{\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial T}\right)_V}{\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial V}\right)_T} </math>
 
Opět dosadíme
 
<math> C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial T}\right)^2_V}{\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial V}\right)_T} </math>
 
Ze stavové rovnice ideálního plynu
a
 
<math> \left(\frac {\partpartial p}{\partpartial T}\right)_V = \frac{nR}{V};
\left(\frac {\partpartial p}{\partpartial V}\right)_T = -\frac {nRT}{V^2} </math>
 
Znovudosazením do odvození