Hamiltonovská formulace mechaniky: Porovnání verzí

m
Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
m (Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy)
m (Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap)
== Hamiltonovy rovnice ==
[[Diferenciál (matematika)|Diferenciací]] [[Hamiltonova funkce|Hamiltonovy funkce]] dostaneme
:<math>\mathrm{d}H = \sum_i \left( \frac{\partpartial H}{\partpartial q_i}\mathrm{d}q_i + \frac{\partpartial H}{\partpartial p_j}\mathrm{d}p_j \right) + \frac{\partpartial H}{\partpartial t}\mathrm{d}t = </math>
::<math>= \sum_i \left( \dot{q}_i\mathrm{d}p_i + p_i\mathrm{d}\dot{q}_i - \frac{\partpartial L}{\partpartial q_i}\mathrm{d}q_i - \frac{\partpartial L}{\partpartial \dot{q}_i}\mathrm{d}\dot{q}_i \right) - \frac{\partpartial L}{\partpartial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left( \dot{q}_i\mathrm{d}p_i - \dot{p}_i\mathrm{d}q_i \right) - \frac{\partpartial L}{\partpartial t}\mathrm{d}t</math>,
kde <math>L</math> je [[Lagrangeova funkce]], <math>q_i</math> jsou [[zobecněná souřadnice|zobecněné souřadnice]] a <math>p_i</math> jsou [[zobecněná hybnost|zobecněné hybnosti]]. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy
:<math>{\left(\frac{\partpartial H}{\partpartial t}\right)}_{p,q} = -{\left(\frac{\partpartial L}{\partpartial t}\right)}_{q,\dot{q}}</math>
:<math>\dot{q}_i = \frac{\partpartial H}{\partpartial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i = -\frac{\partpartial H}{\partpartial q_i}</math>
Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s <math>n</math> [[stupeň volnosti|stupni volnosti]] [[soustava rovnic|soustavu]] <math>2n</math> [[diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]] prvního řádu pro <math>2n</math> neznámých [[funkce (matematika)|funkcí]] [[čas]]u <math>q_i(t), p_i(t), i = 1, 2, ..., n</math>. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než [[Lagrangeova rovnice|Lagrangeovy rovnice]] a jejich pravé strany nezávisí na [[derivace|derivacích]] hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají '''Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi''' daného systému.
 
 
Dosazením do Hamiltonových kanonických rovnic:
:<math>\dot{q} = \frac{\partpartial H}{\partpartial p} = \frac{p}{m}</math> a
:<math>\dot{p} = -\frac{\partpartial H}{\partpartial q} = 0</math>.
 
To znamená, že rychlost částice (<math>v</math>, neboli <math>\dot{q}</math>) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.
192

editací