Ekvivalence (matematika): Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
MatSuBot (diskuse | příspěvky)
m Úprava rozcestníku za pomoci robota: Graf - změna odkazu/ů na Graf (teorie grafů)
m Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
Řádek 9:
* [[reflexivní relace|reflexivní]], tj. <math>\forall a \isin X:[a,a] \isin R\,\! </math>
* [[symetrická relace|symetrická]], tj. <math>\forall a,b \isin X:[a,b] \isin R \implies [b,a] \isin R \,\! </math>
* [[Tranzitivní relace|tranzitivní]], tj. <math>\forall a,b,c \isin X:(( [a,b] \isin R \andland [b,c] \isin R) \implies [a,c] \isin R) \,\! </math>
 
== Rozklad a třídy ekvivalence ==
Řádek 17:
* <math> Y \subseteq \mathcal{P}(X) \,\! </math>, kde <math> \mathcal{P}(X) \,\! </math> je [[potenční množina]] množiny <math>X \,\! </math>
* <math> \bigcup Y = X \,\! </math>
* <math> (a,b \isin Y \andland a \neq b) \implies a \cap b = \emptyset \,\! </math>
 
'''Třídy ekvivalence''' jsou právě podmnožiny <math> X \,\! </math>, přičemž každá třída ekvivalence obsahuje právě všechny takové prvky z množiny <math> X \,\! </math> , že každé dva v rámci této třídy jsou navzájem ekvivalentní ve smyslu dané relace. Každý z těchto prvků je ekvivalentní i se sebou samým (reflexivita). '''Třídu ekvivalence''', do které patří právě nějaký prvek <math> a \isin X \,\! </math>, značíme <math> [a]_R \,\! </math>. Z definice je tedy patrné, že tento prvek <math> a \isin [a]_R \,\! </math> je ekvivalentní s každým jiným prvkem náležícím do <math> [a]_R \,\! </math>. '''Rozklad''' množiny <math> X \,\! </math> podle ekvivalence <math> R \,\! </math> je následující množina:<br />
Řádek 23:
 
Platí to i naopak - každý '''rozklad''' <math> Y \,\! </math> množiny <math> X \,\! </math> určuje jednoznačně právě jednu relaci '''ekvivalence''':
<math> [a,b] \isin R \Leftrightarrow (\exist y \isin Y)(a \isin y \andland b \isin y) \,\! </math>
 
=== Příklad rozkladu ===