Totální derivace: Porovnání verzí

Přidáno 36 bajtů ,  před 1 rokem
m
Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
m (Robot: odstranění starých interwiki odkazů)
m (Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap)
 
Při určování parciální derivace [[Funkce (matematika)|funkce]] <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> podle <math>x_i</math> považujeme všechny ostatní proměnné za [[konstanta|konstanty]]. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.
 
Uvažujme např. funkci <math>f(x,y) = xy</math>. Parciální derivace podle ''x'' je <math>\frac{\partpartial f}{\partpartial x} = y</math>. Pokud však proměnné ''x'' a ''y'' nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce ''f'' na ''x'' dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi ''x'' a ''y'' lze vyjádřit jako <math>y = g(x)</math>. V takovém případě je <math>f(x,y) = f(x,g(x))</math> a jedná se tedy o parciální derivaci [[složená funkce|složené funkce]], tzn.
:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\partpartial f}{\partpartial x} + \frac{\partpartial f}{\partpartial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>
 
Jsou-li obě proměnné ''x'' i ''y'' závislé na další proměnné ''t'', tzn. <math>x = x(t), y = y(t)</math>, pak totální derivace ''f'' podle ''t'' je
:<math>\frac{{\mathrm{d}f}}{{\mathrm{d}t}}=\frac{\partpartial f}{\partpartial t} + \frac{\partpartial f}{\partpartial x} \frac{{\mathrm{d}x}}{{\mathrm{d}t}} + \frac{\partpartial f}{\partpartial y} \frac{{\mathrm{d}y}}{{\mathrm{d}t}}.</math>
 
Totální derivace se často používá ve [[fyzika|fyzice]].