Wikipedie

Deformace: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
Roboti
1 711 601 editací
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy
m Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
Řádek 24:
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\varepsilon_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k</math>
kde byl zaveden tzv. '''tenzor velkých deformací'''
:<math>\varepsilon_{lk} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partpartial u_k}{\partpartial x_l} + \frac{\partpartial u_l}{\partpartial x_k} + \left(\frac{\partpartial u_j}{\partpartial x_l}\right)\left(\frac{\partpartial u_j}{\partpartial x_k}\right)\right]</math>
 
Tenzor velkých deformací je [[funkce (matematika)|funkcí]] [[Soustava souřadnic|souřadnic]], tzn. <math>\varepsilon_{lk}=\varepsilon_{lk}(x_i)</math>, a je to [[symetrický tenzor]] druhého řádu.
 
=== Tenzor malých deformací ===
Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí <math>u_i</math> se souřadnicemi <math>x_j</math>, tzn. jsou malé také [[parciální derivace]] <math>\frac{\partpartial u_i}{\partpartial x_j}</math>. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen <math>\left(\frac{\partpartial u_j}{\partpartial x_l}\right)\left(\frac{\partpartial u_j}{\partpartial x_k}\right)</math> malý ve srovnání s členy <math>\frac{\partpartial u_k}{\partpartial x_l}</math> a <math>\frac{\partpartial u_l}{\partpartial x_k}</math> a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. '''tenzorem malých deformací'''
:<math>e_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partpartial u_k}{\partpartial x_l} + \frac{\partpartial u_l}{\partpartial x_k}\right)</math>
 
Pro malé deformace lze tedy platí
Řádek 36:
 
Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem
:<math>\overline{e}_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partpartial u_k}{\partpartial y_l} + \frac{\partpartial u_l}{\partpartial y_k}\right)</math>
a platí
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\overline{e}_{lk}\mathrm{d}y_l\mathrm{d}y_k</math>
Řádek 60:
Složka tenzoru <math>e_{11}</math> malých deformací tedy odpovídá [[relativní prodloužení|relativní změně délky]] elementu, který byl původně [[rovnoběžky|rovnoběžný]] s osou <math>x_1</math> [[kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavy souřadnic]]. Podobně složky <math>e_{22}</math> a <math>e_{33}</math> přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami <math>x_2</math> a <math>x_3</math>.
 
Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v [[rovina|rovině]] dané kartézskými osami <math>x_1, x_2</math>. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky <math>e_{11}, e_{22}, e_{12}=e_{21}</math>. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. <math>e_{11}=e_{22}=0, e_{12}\ne 0</math>, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou <math>x_1</math>, tzn. lze jej před deformací popsat [[vektor]]em <math>(\mathrm{d}x_1,0)</math>, lze po deformaci popsat vektorem <math>\left(\mathrm{d}x_1, \frac{\partpartial u_2}{\partpartial x_1}\mathrm{d}x_1\right)</math>, kde <math>u_2</math> je složka vektoru posunutí podél osy <math>x_2</math>.
Pro [[úhel]] <math>\alpha_1</math> mezi vektory <math>(\mathrm{d}x_1,0)</math> a <math>\left(\mathrm{d}x_1,\frac{\partpartial u_2}{\partpartial x_1}\mathrm{d}x_1\right)</math> platí
:<math>\operatorname{tg}\,\alpha_1 = \frac{\partpartial u_2}{\partpartial x_1}</math>
 
Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou <math>x_2</math>, který je možné před deformací popsat vektorem <math>(0,\mathrm{d}x_2)</math>, určit složky tohoto elementu po deformaci jako <math>\left(\frac{\partpartial u_1}{\partpartial x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right)</math>.
Pro úhel <math>\alpha_2</math> mezi vektory <math>(0,\mathrm{d}x_2)</math> a <math>\left(\frac{\partpartial u_1}{\partpartial x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right)</math> platí
:<math>\operatorname{tg}\,\alpha_2 = \frac{\partpartial u_1}{\partpartial x_2}</math>
 
Pro malé deformace lze použít [[aproximace#Přibližné výrazy goniometrických funkcí|aproximaci]] <math>\operatorname{tg}\,\alpha_i \approx \alpha_i</math>, což umožňuje psát
:<math>2 e_{12} = \frac{\partpartial u_2}{\partpartial x_1} + \frac{\partpartial u_1}{\partpartial x_2} = \alpha_1 + \alpha_2</math>
 
Smíšená složka tenzoru deformace <math>e_{12}</math> tedy odpovídá polovině úhlu <math>\alpha_1+\alpha_2</math>, o který se při deformaci změní [[pravý úhel]] mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami <math>x_1</math> a <math>x_2</math>. Úhel <math>\alpha_1+\alpha_2</math> se nazývá [[úhel smyku]].
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Deformace“