|
=== Weingartenovy rovnice plochy ===
'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <math>\mathbf{n}</math> a <math>\mathbf{r}</math>.
:<math>\frac{\partpartial\mathbf{n}}{\partpartial u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial v}</math>
:<math>\frac{\partpartial\mathbf{n}}{\partpartial v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial v}</math>
:
:<math>\frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\partpartial\mathbf{n}}{\partpartial u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\partpartial\mathbf{n}}{\partpartial v}</math>
:<math>\frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\partpartial\mathbf{n}}{\partpartial u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\partpartial\mathbf{n}}{\partpartial v}</math>
kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
=== Gaussovy rovnice plochy ===
'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <math>\mathbf{r}</math>.
:<math>\frac{\partpartial^2\mathbf{r}}{\partpartial u^2} = \frac{G\frac{\partpartial E}{\partpartial u} - 2F\frac{\partpartial F}{\partpartial u} + F\frac{\partpartial E}{\partpartial v}}{2(EG-F^2)} \frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial u} + \frac{-F\frac{\partpartial E}{\partpartial u} + 2E\frac{\partpartial F}{\partpartial u} - E\frac{\partpartial E}{\partpartial v}}{2(EG-F^2)} \frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial v} + L\mathbf{n}</math>
:<math>\frac{\partpartial^2\mathbf{r}}{\partpartial u\partpartial v} = \frac{G\frac{\partpartial E}{\partpartial v} - F\frac{\partpartial G}{\partpartial u}}{2(EG-F^2)} \frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial u} + \frac{E\frac{\partpartial G}{\partpartial u} - F\frac{\partpartial E}{\partpartial v}}{2(EG-F^2)} \frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial v} + M\mathbf{n}</math>
:<math>\frac{\partpartial^2\mathbf{r}}{\partpartial v^2} = \frac{-F\frac{\partpartial G}{\partpartial v} + 2G\frac{\partpartial F}{\partpartial v} - G\frac{\partpartial G}{\partpartial u}}{2(EG-F^2)} \frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial u} + \frac{E\frac{\partpartial G}{\partpartial v} - 2F\frac{\partpartial F}{\partpartial v} + F\frac{\partpartial G}{\partpartial u}}{2(EG-F^2)} \frac{\partpartial\mathbf{r}}{\partpartial v} + N\mathbf{n}</math>
kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
=== Codazziho rovnice plochy ===
'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <math>E, F, G</math> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <math>L, M, N</math>.
:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\partpartial L}{\partpartial v} - \frac{\partpartial M}{\partpartial u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\partpartial E}{\partpartial v} - \frac{\partpartial F}{\partpartial u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\partpartial E}{\partpartial u} & L \\ F & \frac{\partpartial F}{\partpartial u} & M \\ G & \frac{\partpartial G}{\partpartial u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\partpartial M}{\partpartial v} - \frac{\partpartial N}{\partpartial u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\partpartial F}{\partpartial v} - \frac{\partpartial G}{\partpartial u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\partpartial E}{\partpartial v} & L \\ F & \frac{\partpartial F}{\partpartial v} & M \\ G & \frac{\partpartial G}{\partpartial v} & N \end{vmatrix} = 0</math>
== Vlastnosti ==
* Zavedeme [[matice|matici]]
:<math>\begin{pmatrix} \frac{\partpartial x}{\partpartial u} & \frac{\partpartial y}{\partpartial u} & \frac{\partpartial z}{\partpartial u} \\ \frac{\partpartial x}{\partpartial v} & \frac{\partpartial y}{\partpartial v} & \frac{\partpartial z}{\partpartial v} \end{pmatrix}</math>
Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <math>h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <math>h<2</math>, pak jde o singulární body.
| 