Sinus: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Editace uživatele Plusminusodmocnina (diskuse) vráceny do předchozího stavu, jehož autorem je HypoBOT |
Důvodem editace byl podnět vyučujícího matematiky. Vzhledem k nedostatečným informacím ohledně orientování se s funkcí sinus v jednotkové kružnici jsem doplnila potřebné informace k pochopení tématu. Ze stránky wikipedie o goniometrických funkcí jsem použila text s popisek vypočítání hodnot sinus a z anglické wikipedie o stejném tématu jsem využila obrázky k doplnění stránky. značky: možný spam přepnuto z Vizuálního editoru |
||
Řádek 10:
== Sinus na jednotkové kružnici ==
[[Soubor:Sine triangle circle.svg|thumb|upright|Sinus ''α'' na jednotkové kružnici]]
[[Soubor:Circle cos sin.gif|náhled|387x387pixelů|Animace zobrazuje funkci sinus (červeně) vykreslenou ze souřadnice y (červený bod) a k tomu náležící bod na jednotkové kružnici (zelený bod) pod úhlem θ.]]
[[Soubor:Unit circle angles.svg|náhled|431x431pixelů|Úhly jsou udávány ve stupních a radiánech spolu s odpovídajícím průsečíkem na jednotkovém kruhu (cos (θ), sin (θ)).]]
Sinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li ''α'' úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose ''x'' a je [[Úhel#Orientovaný úhel|orientovaný]] od kladné poloosy ''x'' proti směru hodinových ručiček), je '''sin ''α''''' roven ''y''-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce [[kolmice]] spuštěné z tohoto bodu na osu ''x''.
Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) ''x''-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', je pak roven [[kosinus|cos]] ''α''.
Řádek 19 ⟶ 21:
Protože zřejmě platí, že
:<math>\sin \alpha = \sin \alpha + k \cdot 2\pi</math> (resp. <math>\sin \alpha + k \cdot 360^{\circ}</math>),
kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]], lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé [[ojnice|ojnici]]) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.
== Hodnoty sinus na jednotkové kružnici ==
Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech:
{| class="wikitable"
! colspan="3" |''x'' (úhel)
|-
|Stupně
|Radiány
|Otočení v kružnici
|-
|0°
|0
|0
|-
|180°
|π
|1/2
|-
|15°
|1/12π
|1/24
|-
|165°
|11/12π
|11/24
|-
|30°
|1/6π
|1/12
|-
|150°
|5/6π
|5/12
|-
|45°
|1/4π
|1/8
|-
|135°
|3/4π
|3/8
|-
|60°
|1/3π
|1/6
|-
|120°
|2/3π
|1/3
|-
|75°
|5/12π
|5/24
|-
|105°
|7/12π
|7/24
|-
|90°
|1/2π
|1/4
|}
Tabulka hodnot po 90° v jednotkové kružnici:
{| class="wikitable"
|''x'' ve stupních
|0°
|90°
|180°
|270°
|360°
|-
|x v radiánech
|0
|π/2
|π
|3π/2
|2π
|-
|''x'' po 1/4 kružnice
|0
|1/4
|1/2
|3/4
|1
|-
|hodnota sin ''x''
|0
|1
|0
| -1
|0
|}
Pro orientaci v přepočítávání hodnot na stupně a radiány: https://matematika.cz/radian
== Sinus v reálném oboru ==
Řádek 51 ⟶ 147:
Tyto [[vzorec|vzorce]] plynou přímo z příslušných definičních [[mocninná řada|mocninných řad]] daných [[Funkce (matematika)|funkcí]]. Sinus je na celé komplexní rovině [[Bijekce|jednoznačná]] [[holomorfní funkce|holomorfní]] funkce.
== Sinus a kvadranty ==
[[Soubor:Sine quads 01 Pengo.svg|náhled|462x462pixelů|Čtyři kvadranty kartézské soustavy souřadnic. Po jednotkové kružnici (obrázek vlevo) se pohybujeme proti směru hodinových ručiček a začínáme napravo (přechod žluté a hnědé barvy).]]
Pohybujeme se v kartézské soustavě souřadnic se čtyřmi kvadranty. Níže uvedená tabulka zobrazuje několik klíčových vlastností sinusové funkce dle konkrétního kvadrantu. Pro argumenty mimo tabulku lze vypočítat odpovídající informace pomocí periodicity funkce sinus.
{| class="wikitable"
!Kvadranty
!Stupně
!Radiány
!Hodnota
!Hodnota sinu +/-
|-
|I.
|0° < x < 90°
|0 < x < π/2
|0 < sin(x) < 1
| +
|-
|II.
|90° < x < 180°
|π/2 < x < π
|0 < sin(x) < 1
| +
|-
|III.
|180° < x < 270°
|π < x < 3π/2
| -1 < sin(x) < 0
| -
|-
|IV.
|270° < x < 360°
|3π/2 < x < 2π
| -1 < sin(x) < 0
| -
|}
Následující tabulka uvádí základní hodnoty na hranicích kvadrantů:
{| class="wikitable"
!Stupně
!Radiány
!sin (x)
|-
|0°
|0
|0
|-
|90°
|π/2
|1
|-
|180°
|π
|0
|-
|270°
|3π/2
| -1
|}
== Výpočty hodnot ==
V současnosti se většina lidí vyhne počítání hodnot goniometrických funkcí díky dostupnosti [[počítač]]ů a vědeckých [[Kalkulačka|kalkulátorů]]. Historicky se hodnoty goniometrických funkcí určovaly [[interpolace|interpolací]] hodnot z předpočítaných tabulek obsahujících jejich hodnoty pro nejdůležitější úhly. Tyto tabulky vznikaly se zrodem samotných goniometrických funkcí a byly sestavovány opakovaným užitím sčítání a půlení známých úhlů.
Počítače užívají k výpočtu goniometrických funkcí několika metod. Obvyklým postupem je kombinace polynomiální aproximace (pomocí [[Taylorův polynom|Taylorových]] nebo Maclaurinových polynomů) a vyhledávání v tabulce již připravených úhlů. Nejprve je tedy nalezena hodnota blízkého úhlu a přesná hodnota je dopočítána vhodným aproximačním [[polynom]]em. Tak ovšem mohou postupovat výkonnější stroje vybavené jednotkou pro operace s plovoucí řádovou čárkou, v jednodušších zařízeních se používá algoritmus zvaný [[CORDIC]], který je v tomto případě efektivnější. Obě metody jsou kvůli lepšímu výkonu často součástí počítačového [[hardware]].
Přesně určit hodnoty goniometrických funkcí pro všechny násobky 60° a 45° lze následujícím způsobem:
Mějme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen a=b=1; úhly při přeponě jsou stejné a tedy rovné <math>\pi/4</math> (45°). Pak podle [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]]:
:<math> c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt 2 </math>
a tedy ovšem
:<math>\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}</math>
:<math>\mbox{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1</math>
Goniometrické funkce úhlů <math>\pi/3</math> radiánů (60°) a <math>\pi/6</math> radiánů (30°) se určí pomocí rovnostranného trojúhelníka se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovny <math>\pi/3</math> radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s úhly o velikostech <math>\pi/6</math> a <math>\pi/3</math>. Jeho kratší odvěsna má délku <math>1/2</math>, delší <math>{\sqrt3}/2</math> a přepona délku 1. Pak tedy:
:<math>\sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math>
:<math>\cos \frac{\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}</math>
:<math>\mbox{tg} \frac{\pi}{6} = \mbox{cotg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}</math>
== Odkazy ==
| |||