Desítková soustava: Porovnání verzí

Přidáno 2 996 bajtů ,  před 3 lety
Dokončen popis desetinného zápisu a jeho hodnot --~~~~
(Dokončen popis desetinného zápisu a jeho hodnot --~~~~)
'''Desítková soustava''' či '''dekadická soustava''' je [[poziční číselná soustava|poziční]] [[číselná soustava]] se základem 10. Pro zápis [[číslo|čísla]] se používají [[číslice]] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Desítková soustava umožňuje přesný zápis libovolného [[Celé číslo|celého čísla]]; (záporná čísla jsou označena na začátku znakem "<math>-</math>", "minus". S použitím [[Desetinná značka|desetinné značky]] (typicky [[Desetinná čárka|desetinné čárky]] nebo [[Desetinná tečka|desetinné tečky]]) lze v desítkové soustavě zapsat libovolné [[reálné číslo]] s jakoukoli konečnou přesností.
 
== Použití ==
== Desítkový zápis čísla a výpočet jeho hodnoty ==
* Zápis nuly je <math>0</math>. <br>
* Každé kladné celé číslo <math>q</math> lze zapsat jako konečnou posloupnost <math>X</math> tvořenou <math>k+1n_X</math> číslicemi <math>x_0 x_1 x_2 \ldots x_kx_{n_X}</math>, kde <math>kn_X\ge 01</math> je celé číslo a pro každé celé <math>i</math>, kde <math>01\le i\le kn_X</math>, je <math>x_i</math> jedna z číslic 0-9. Pak platí
 
(1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>q=X=\sum_{i=01}^{kn_X} {x_i} \cdot 10^{kn_X-i}</math>
 
<small> Číslo zapsané posloupností <math>X</math> má matematicky stejnou aritmetickou hodnotu jako číslo zapsané posloupností <math>0X</math>, <math>00X</math> apod.;. protoProto se zpravidla "vedoucí" nuly na začátku čísla nepíšou (tj. <math>x_0x_1\ne0</math>, ovšem kromě čísla "nula" samotného, <math>0</math>), až na zvláštní případy, kdy je např. přikázán formát zápisu <math>X</math> čísla <math>q</math> s daným počtem <math>k>1</math> číslic.
</small>
* Každé kladné necelé číslo <math>r</math> lze zapsat jako posloupnost <math>XdY</math> tvořenou
-- konečnou posloupností <math>X</math> z <math>n_X</math> číslic;<br>
-- [[desetinná značka|desetinnou značkou]] <math>d</math>, což je buď [[desetinná čárka|čárka]] (jakoužita zdena této stránce), nebo [[desetinná tečka|tečka]],. podrobnostiPodrobnosti viz heslo [[desetinná značka]];<br>
-- konečnou nebo nekonečnou posloupností <math>Y</math> z <math>n_Y</math> číslic.<br>
Posloupnosti <math>X=x_1x_2\dots x_{n_X}</math>, <math>Y=y_1 y_2\dots y_{n_Y}</math> jsou tvořeny analogicky, jak je uvedeno výše, a platí
 
(12)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\ r=XdY=\sum_{i=01}^{kn_X} {x_i} \cdot 10^{kn_X-i} + \sum_{j=1}^{mn_Y} {y_j} \cdot 10^{-j} </math>;
 
v druhé sumě je <math>m</math> počet číslic v posloupnosti <math>Y</math> a může být i <math>mn_Y=\infty</math>.
 
* Posloupnost <math>X</math> je nutno<ref>ISO/IEC Directives, Part 2, 6.6.8.2: If the magnitude (absolute value) of a number less than 1 is written in decimal form, the decimal sign shall be preceded by a zero.</ref> vypsat, i když jde o nulu, např. <math>a=0,\!25</math>. (Dříve se příležitostně v anglofonním světě při zápisu s [[desetinná tečka|desetinnou tečkou]] samotná nula před ní vynechávala.)
* Záporné číslo zapisujeme znamínkem "minus", <math>-</math>, následovaným bez mezery odpovídajícím číslem kladným.<br>
Příklady: <math>-100; -0,\!75; -\pi\equiv -3,\!141\,59\dots</math> .<br>
Tři tečky "<math>\dots</math>" zde znamenají neúplný zápis čísla, v němž chybějínejsou uvedeny další číslice.
 
=== Zvláštní případy ===
* ČísloKladné číslo racionální <math>r=a/b>0</math>, kde <math>a, b</math> jsou čísla celá, má <br>
-- buď zápis konečný, tj. v zápisu (12) výše je <math>m<\infty</math>, a to právě tehdy, když je <math>a=2^e 5^f</math>, kde <math>e>0, f>0</math> jsou čísla celá,<br>
-- anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru
<math>r=XdYZZZZZ\dots\equiv XdY\overline{Z}</math>, kde <math>X, Y, Z</math> jsou konečné posloupnosti analogické dřívější <math>Xn_X, n_Y, n_Z</math> očíslic délkáchanalogické dřívější <math>l_x, l_y, l_zX</math> a pruh nad <math>Z</math> značí opakování celé posloupnosti <math>l_zn_Z</math> číslic tvořících <math>Z</math>. StaršíNazývají názvy pro tyto posloupnostise jsou<ref>{{Citace monografie
| příjmení1 = Teyssler, -Kotyška
| titul = Technický slovník naučný, díl IX
| vydavatel = Borský a Šulc
| kapitola = Občíslí
| strany = 177}}</ref>
<ref>http://ssjc.ujc.cas.cz/search.php?hledej=Hledat&heslo=ob%C4%8D%C3%ADsl%C3%AD&sti=EMPTY&where=hesla&hsubstr=no</ref>
''předčíslí'' (''předperioda'') pro <math>Y</math> a ''občíslí'' (''perioda'') pro <math>Z</math>, zatímco <math>X</math> je celá část čísla <math>r</math>. Označíme-li <math>s</math> hodnotu čísla <math>XdY</math> a <math>t</math> hodnotu celého čísla <math>Z</math>, pak platí<br>
(3)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>r=s+\frac{t}{10^{l_yn_Y}(10^{l-zn_Z}-1)}</math>. Příklady:<br>
Příklady:<br>
<math>55/13 = 4,\!2307692307692307\dots = 4,\!\overline{230769}= 4+\frac{230769}{999999}</math> , ale také <br>
<math>\ qquad\ qquad\ = 4,\!2307\overline{692307}= 4,\!2307+\frac{692307}{9999990000} </math> apod.<br>
* Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu <math>r=XdY</math>, tedy <math>r=XdY=XdY0=XdY00=\dots=XdY\overline{0}</math>. Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet [[platné číslice|platných číslic]].
*
* Protože <math>1=0,\!\overline{9}</math>, lze každý zápis s občíslím <math>\overline{9}</math> zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku <math>d</math>.<br>
{{Pracuje se}}
Příklady:<br>
<math>12\,399,\!\overline{9}=12\,400</math><br>
<math>12\,345,\!6\overline{9}=12\,345,\!7</math><br>
* Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko.<br>
<math>-12\,345,\!6\overline{9}=-12\,345,\!7</math><br>
=== Zápis a hodnota čísel zaokrouhlených ===
Aritmetická hodnota čísel <math>a=12,\!3</math> a <math>b=12,\!300</math> je stejná, tedy <math>a=b</math>. Pokud však jde o numerickou matematiku pracující se zaokrouhlenými čísly a o její aplikace v praxi (např. hodnota změřené fyzikální veličiny), je mezi čísly rozdíl, protože <math>b</math> má 5 [[platné číslice|platných číslic]], zatímco <math>a</math> jen 3. Bezpečnější zápis v takových případech je
<math>a=12,\!30(5)</math> a <math>b=12,\!300\,0(5)</math>. Celé číslo uvedené za hodnotou v závorce (může mít i více míst) udává nejistotu či chybu čísel <math>a, b</math> a jeho poslední číslice odpovídá poslední číslici předcházejícího čísla. Hodnotou čísla <math>b</math> může tedy být libovolné z čísel ležících v intervalu <math>12,\!299\,5</math> až <math>12,\!300\,5</math>. Podobně např. hodnotou čísla <math>c=1,\!234\,567(12)</math> může být libovolné z čísel ležících v intervalu <math>1,\!234\,555</math> až <math>1,\!234\,579</math>. Podrobnosti viz [[platné číslice]].
 
== Názvy velkých čísel ==
459

editací