Verze z 30. 1. 2018, 19:57 editovat Petr Matas (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 3 307 editací →‎Algebraický tvar komplexních čísel: absolutní hodnota, modul, definice normy pomocí (a, b) ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 30. 1. 2018, 20:04 editovat zrušit editaci Petr Matas (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 3 307 editací m Odrážky před rovnicemi raději ne Přejít na další porovnání →
Řádek 9: {{Kotva\|Imaginární číslo}} == Zápis a související pojmy == '''Komplexním číslem''' nazveme číslo tvaru <math> a + b\mathrm{i} \,\! </math>, kde <math> a \,\! </math> a <math> b \,\! </math> jsou [[Reálné číslo\|reálná čísla]]. Tento tvar komplexního čísla se nazývá '''algebraický'''. Písmeno <math> \mathrm{i} \,\! </math> značí '''imaginární jednotku''', která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici <math>\mathrm{i}^2+1=0\,,</math> tj. jako [[odmocnina]] z −1, která v reálných číslech neexistuje. Řádek 28 ⟶ 27: :<math>b = \mathrm{Im}(z) = \Im(z)</math>, kde <math>a,b \,\!</math> jsou reálná čísla. Komplexní číslo <math>z \,\!</math> lze tedy také vyjádřit některým z následujících zápisů: : <math>z = a + \mathrm{i}b = \mathrm{Re}(z) + \mathrm{i} \mathrm{Im}(z) = \Re(z) + \mathrm{i} \Im(z) \,\!</math>. S imaginární jednotkou se zachází jako s každým jiným číslem, proto je možné používat následujících zkrácených zápisů: : <math> 0 + x \cdot \mathrm{i} = x \cdot \mathrm{i} \,\! </math> : <math> x + 0 \cdot \mathrm{i} = x \,\! </math> : <math> 1 \cdot \mathrm{i} = \mathrm{i} \,\! </math> : <math> -1 \cdot \mathrm{i} = -\mathrm{i} \,\! </math> === Příklad === Řádek 50: === Příklad === Polynom <math> x^2 + 1 \,\! </math> nemá v oboru reálných čísel žádný kořen. V oboru komplexních čísel jsou jeho kořeny čísla <math> \mathrm{i} \,\! </math> a <math> -\mathrm{i} \,\! </math>, protože: : <math> \mathrm{i}^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\! </math> : <math> (-\mathrm{i})^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\! </math> == Operace s komplexními čísly == Řádek 57: Pro čísla v algebraickém tvaru lze jednoduchými algebraickými úpravami odvodit vztahy pro [[součet]], [[rozdíl]] a [[součin]] dvou komplexních čísel: : <math>(a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d) \,\! </math> : <math>(a+\mathrm{i}b)-(c+\mathrm{i}d)=(a-c)+\mathrm{i}(b-d) \,\! </math> : <math>(a+\mathrm{i}b)\cdot(c+\mathrm{i}d)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad + bc) \,\! </math> [[Dělení\|Podíl]] dvou komplexních čísel lze vyjádřit takto: : <math> {a + \mathrm{i}b \over c + \mathrm{i}d} = {(a + \mathrm{i}b) (c - \mathrm{i}d) \over (c + \mathrm{i} d) (c - \mathrm{i} d)} = {(ac+bd) + \mathrm{i} (bc-ad) \over c^2 + d^2} = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + \mathrm{i} \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right). </math> Pro komplexní číslo <math>z=a+b\mathrm{i}</math> je definována '''konjugace''' ([[komplexně sdružené číslo]]) <math>\bar{z}:=a-b\mathrm{i}</math>. Jejich součin <math>z\bar{z}=a^2+b^2</math> je vždy reálný a nezáporný a je roven nule pouze když <math>z=0</math>. Pak můžeme psát pro inverzi stručně <math>z^{-1}=\bar{z}/(z\bar{z})</math> pro <math>z\neq 0</math>. Řádek 127: Často jsou také komplexní čísla zaváděna jako všechny uspořádané dvojice [[reálné číslo\|reálných čísel]] <math> (a,b) </math> s definovanými operacemi sčítání a násobení: :<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \,</math> :<math>(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,</math> Znaménko <math>\cdot</math> u násobení obvykle vynecháváme.

Komplexní číslo: Porovnání verzí