Potenční množina: Porovnání verzí

Přidáno 652 bajtů ,  před 3 lety
+P(X) v teorii modelů
m (narovnání přesměrování)
(+P(X) v teorii modelů)
* Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> |X| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> |\mathcal{P}(X)| = 2^n \,\! </math>.
* Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathcal{P}(X) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> X \,\! </math>. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost <math> \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> \mathcal{P}(X) \,\! </math> atd.
 
==Potenční množiny v modelech teorie množin==
 
Axiom teorie množin vyžaduje, aby soubor podmnožin nějaké množiny byl množinou, protože ale model nemusí obsahovat
všechny možné podmnožiny, liší se v různých modelech i potenční množina nějaké množiny, a to i velikostí,
<math>X</math> a <math>\mathcal{P}(X)</math> dokonce mohou mít při pohledu zvenku stejnou [[mohutnost]]
(v modelu plati podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]] <math>X \prec \mathcal{P}(X)</math>, což ovšem pouze znamená,
že uvnitř modelu neexistuje mezi oběma množinami bijekce, tj. zmíněná bijekce není součástí uvažovaného modelu).
 
== Související články ==