Potenční algebra: Porovnání verzí

Přidáno 68 bajtů ,  před 3 lety
m
Nahrazení teček matematickým krát
m (narovnání přesměrování)
m (Nahrazení teček matematickým krát)
== Operace součinu a součtu ==
Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':
* <math> a .\cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </math>
* <math> a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </math>
 
Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme - jsou [[Komutativní operace|komutativní]], [[Asociativní operace|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace|distributivní]]
* <math> a + b = b + a \,\! </math>
* <math> a .\cdot b = b .\cdot a \,\! </math>
* <math> a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </math>
* <math> a .\cdot (b .\cdot c) = (a .\cdot b) .\cdot c \,\! </math>
* <math> a .\cdot (b + c) = (a .\cdot b) + (a .\cdot c) \,\! </math>
 
Příklady:
* <math> \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </math>
* <math> \{0,1\} .\cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </math>
* <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </math>
* <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} .\cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </math>
 
== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==
Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <math> 0 \,\! </math> a <math> 1 \,\! </math>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):
* <math> a .\cdot 1 = 1 .\cdot a = a \,\! </math>
* <math> a + 0 = 0 + a = a \,\! </math>
* <math> a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </math>
* <math> a .\cdot 0 = 0 .\cdot a = 0 \,\! </math>
 
== Operace rozdílu ==
<math> -a = X - a \,\! </math>
získáváme [[Unární operace|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:
* <math> a .\cdot (-a) = 0 \,\! </math>
* <math> a + (-a) = 1 \,\! </math>
* <math> -(-a) = a \,\! </math>
6 675

editací