Abstraktní algebra: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→top: Wikifikace |
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 1:
'''Abstraktní algebra''' je oblast [[matematika|matematiky]] zkoumající abstraktní [[algebraická struktura|algebraické struktury]]. Termín vznikl počátkem 20. století na odlišení oboru od [[elementární algebra|elementární algebry]], jež se zabývá například úpravou algebraických výrazů s [[Reálné číslo|reálnými]] a [[Komplexní číslo|komplexními čísly]]. Dnes se již toto rozdělení obvykle nepoužívá.
Zatímco elementární algebra se zabývá konkrétními objekty (například [[reálné číslo|reálnými čísly]]), abstraktní algebra se týká jakékoli struktury, která splňuje dané podmínky. Například [[pologrupa|pologrupou]] je každá [[množina]] s asociativní [[binární operace|binární]] [[Operace (matematika)|operací]] - může to být množina [[číslo|čísel]], množina [[Funkce (matematika)|funkcí]], množina [[uspořádaná n-tice|uspořádaných pětic]] atd.
Výhoda abstraktního přístupu spočívá v tom, že stačí pro daný typ strukturu (např. [[grupa|grupu]] nebo [[lineární prostor]]) jednou dokázat nějakou větu a můžeme ji aplikovat na každou strukturu, která splňuje definici grupy, lineárního prostoru apod.
Řádek 29:
{{Podrobně|Algebraická struktura}}
Algebra zkoumá tzv. algebraické struktury, tedy množiny vybavené [[Operace (matematika)|operacemi]], nikoli např. [[Relace (matematika)|relacemi]].
Algebraickou operací [[arita|arity]] ''n'' na množině ''A'' (jinými slovy: ''n''-ární operací) se rozumí zobrazení, které [[Uspořádaná dvojice|uspořádané n-tici]] prvků z ''A'' přiřadí prvek z ''A''. Například násobení přiřadí dvojici (3,2) číslo 6.
'''Příklad operací:'''
Řádek 40:
Příklady vztahů, které '''nejsou algebraickými operacemi''':
* Množina celých čísel s relací "číslo ''x'' je dělitel čísla ''y''" není algebraickou strukturou, protože tato relace nevrací číslo, nýbrž vrací ([[intuice|intuitivně]] řečeno) [[Pravdivostní hodnota|logickou hodnotu]] "ano/ne".
* Množina přirozených čísel s operací odčítání není algebraickou strukturou, neboť výsledek nemusí ležet v této množině (například 3-8 není přirozené číslo)
* Množina celých čísel s dělením není algebraickou strukturou, neboť výsledek dělení nulou není vůbec definován.
* Pro jakékoli <math>n \in \mathbb{N}^{+}</math> má každé nenulové [[komplexní číslo]] <math>n</math> různých [[Odmocnina#Odmocnina z komplexního čísla|odmocnin]]. Pro každé ''n'' by operace ''n-tá odmocnina'' byla unární operací, kdyby z těchto možných výsledků vrátila jeden. Pokud neuvedeme, které z nich zvolíme (a žádná přirozená metoda výběru zde neexistuje, protože žádná z hodnot nebývá nějak význačná), pak ''n-tá odmocnina na množině komplexních čísel'' není algebraická operace (není to [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]], neboť témuž argumentu přiřazuje několik hodnot).
Příkladem struktur, které jsou v matematice často zkoumány, ale '''nejsou algebraickými strukturami''', jsou [[Uspořádaná množina|uspořádané množiny]], [[Topologický prostor|topologické prostory]], [[Normovaný vektorový prostor|normované vektorové prostory]], [[Graf (teorie grafů)|grafy]] apod. [[Model (logika)|Model predikátové teorie]] je algebraickou strukturou jen tehdy, pokud tato teorie neobsahuje [[
=== Formální definice algebraických struktur ===
Řádek 59:
=== Nosná množina ===
Množině G v právě uvedené definici se říká ''nosná množina''. Grupa <math>\mathbb{G}</math> a její nosná množina G jsou dva různé matematické objekty, ale tam, kde nehrozí nedorozumění, se označují stejným písmenem, takže je běžné psát například
:: <math>\forall x \in \mathbb{G}: x^{-1}\circ x = e</math>
ačkoli ''x'' je prvkem <math>G</math> a nikoli <math>\mathbb{G}</math>
Řádek 72:
=== Grupoidy a grupy ===
* Množina vybavená binární operací se nazývá [[grupoid]].
* Je-li operace asociativní, struktuře se říká [[pologrupa]].
* Pokud navíc obsahuje [[neutrální prvek]], nazývá se [[monoid]].
* Monoid, v němž ke každému prvku existuje [[inverzní prvek]], se označuje jako [[grupa]].
Řádek 94:
Výsledky univerzální algebry lze zobecnit ještě dále v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]], ovšem ta již není odvětvím algebry, neboť zkoumá algebraické i jiné struktury.
{{Autoritní data}}
[[Kategorie:Abstraktní algebra| ]]
| |||