Diofantická rovnice: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
nepřesnost historické datace
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy
Řádek 9:
V následujících diofantických rovnicích jsou <math>x</math>, <math>y</math> a <math>z</math> neznámé, ostatní proměnné jsou dány.
 
* <math>ax+by=1\,</math>: Toto je příklad lineární Diofantovské rovnice.
* <math>x^n+y^n=z^n\,</math>: Pro ''n'' = 2 existuje nekonečně mnoho řešení (''x'',''y'',''z''), [[Pythagorejská trojice|pythagorejské trojice]]. Pro větší hodnoty ''n'' [[Velká Fermatova věta]] říká, že neexistuje žádné řešení pro kladná celá čísla ''x'', ''y'', ''z'', které by splňovalo tuto rovnici.
* <math>x^2-ny^2=1\,</math> ([[Pellova rovnice]]), pojmenovaná po anglickém matematikovi [[John Pell|Johnu Pellovi]]. Původně byla studována [[Brahmagupta|Brahmaguptou]] v šestém století, a o mnoho později [[Pierre de Fermat|Fermatem]].
* <math>\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c</math>, kde <math>n \geq 3</math> a <math>c \neq 0</math>: Toto jsou [[Thueovy rovnice]] a mají obvykle řešení.
* <math>\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}</math>, neboli v polynomiálním tvaru <math>4xyz=n(xy+xz+yz)\,</math>. [[Erdősova–Strausova domněnka]] zní, že pro každé kladné celé číslo ''n'' ≥ 2 existuje řešení kladných celých čísel ''x'', ''y'', a ''z''.
 
== Úloha vedoucí na diofantickou rovnici ==
Tři rybáři společně ulovili určité množství [[ryby|ryb]] a ulehli ke spánku. První se vzbudil jeden z nich a chtěl si odnést svůj podíl. Počet ryb ale nebyl [[dělitelnost|dělitelný]] třemi, proto jednu rybu pustil zpět do vody. Vzal si třetinu zbývajícího počtu a odešel. Když se vzbudil druhý rybář, situace se opakovala. Jednu rybu pustil, vzal si třetinu a odešel. Totéž udělal třetí rybář. Otázka je, kolik bylo ryb. Řešení vede na následující rovnici, v níž <math>x</math> je počet ulovených ryb a <math>y</math> počet zbylých ryb.
 
: <math>\left(\left(\left(x-1\right){2\over3}-1\right){2\over3}-1\right){2\over3}=y</math>
Řádek 29:
 
K řešení Diofantických rovnic se vztahuje 10. [[Hilbertovy problémy|Hilbertův problém]], který se ptal po existenci [[algoritmus|algoritmu]], který dokáže rozhodnout, zda existuje řešení pro libovolnou Diofantickou rovnici. Možnost existence takového algoritmu byla vyloučena [[Matijasevičova věta|Matijasevičovou větou]] v roce 1970. [[Matijasevič]] ukázal, že již pro rovnice s více než devíti proměnnými nelze rozhodovací algoritmus najít. [[Andrew Wiles|Wilesova]] metoda důkazu [[Velká Fermatova věta|Velké Fermatovy věty]] ovšem naznačuje, že by měl existovat rozhodovací algoritmus pro Diofantické úlohy o třech proměnných. Stále zůstává nezodpovězena otázka, jaký je nejnižší počet proměnných, pro který je existence řešení Diofantické rovnice nerozhodnutelná.
{{Autoritní data}}
 
[[Kategorie:Rovnice]]