Metrický prostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
|||
Řádek 20:
: <math>\rho: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}</math>,
které splňuje následující [[axiom]]y (pro libovolná
# Axiom nezápornosti: <math>\rho (x, y) \ge 0 </math>
# Axiom totožnosti: <math>\rho (x, y) = 0 \iff x = y </math>
Řádek 34:
pak nezápornost vyplývá přímo z axiomu 4* a dále z axiomů 2 a 4* vyplývá symetrie.
Hodnota <math>\rho(x,y) \,\!</math> bývá nazývána [[vzdálenost
Vynecháme-li v axiomu 2 implikaci zleva doprava (tj. připustíme, aby dva ''různé'' body měly nulovou vzdálenost) a ponecháme tak pouze rovnost <math>\rho (x, x) = 0</math>, nazýváme vzniklé zobrazení [[pseudometrika|pseudometrikou]].
Řádek 42:
== Příklady ==
=== Metriky v
Každý [[normovaný vektorový prostor]] je metrickým prostorem.
Řádek 50:
* Na množině <math>\mathbb{R}^n</math> lze definovat tzv. '''[[Euklidovská metrika|euklidovskou metriku]]''', která vyjadřuje délku [[úsečka|úsečky]] mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá [[Eukleidovský prostor|euklidovský prostor]] [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] <math>n</math> a označuje se <math>E_n</math>. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též [[Pythagorova věta]]):
*: [[Soubor:Ball_taxi_metric.svg|vpravo|300x300pixelů|Uzavřená koule se středem [2;1,5] a poloměrem 1 v součtové metrice.]]<math>\rho_e (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \Bigl(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2\Bigr)^{1/2}= \sqrt{ {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2 + \cdots + {(x_n - y_n)}^2 }</math>
* tzv. '''součtová''' či '''[[manhattanská metrika]]''' (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na [[Manhattan]]u, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os).
*: <math>\rho = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|=(\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|</math>
Řádek 58:
=== Příklady metrik na množinách funkcí ===
* [[Soubor:Uniform_metric.svg|vpravo|190x190pixelů|Suprémová metrika]]Metrickým prostorem <math>C(\langle a, b\rangle)</math> nazýváme '''prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] na [[interval (matematika)|intervalu]]''' <math>\langle a, b\rangle\,\!</math> s metrikou
*: <math>\rho (f,g) = \sup_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}</math> (tzv. supremová metrika)
* Další možnou metrikou v '''prostoru spojitých funkcí na intervalu''' <math>(a, b)</math> je '''[[integrál]]ní metrika''' (pak se tento prostor nazývá [[Lp prostor|L<sub>p</sub> prostor]])
Řádek 86:
* Množina M je [[Hustá množina|hustá]] v X, jestliže <math>\bar{M}=X</math>.
* Vzdálenost bodu x od množiny M definujeme předpisem <math>dist(x,M):={\inf_{z\in M} \rho (x,y)}</math>, kde <math>\inf</math> znační [[infimum]].
* Diametrem (průměrem) množiny M rozumíme číslo definované předpisem <math>diam M = f(n) = \begin{cases} 0, & \text{pokud } M=\varnothing, \\ {\sup_{x,y \in M} \rho(x,y)}, & \text{pokud }M\neq\varnothing, \end{cases}</math>
* Množina M se nazývá [[Omezená množina|omezená]], jestliže <math>\exists K: diam M<K</math>.
Řádek 119:
* [[Úplný metrický prostor]] je metrický prostor, v němž každá [[cauchyovská posloupnost]] je [[Konvergentní posloupnost|konvergentní]]. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
== Zobecnění
Vynecháním podmínky symetrie se definice mění na definici [[kvazimetrický prostor|kvazimetrického prostoru]], zatímco povolením nulové vzdálenosti pro různé body se definice mění na definici [[pseudometrický prostor|pseudometrického prostoru]].
Řádek 127:
{{Portály|Matematika}}
{{Autoritní data}}
[[Kategorie:Metrické prostory]]
| |||