Spojité zobrazení: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m - Soubor:Stereographic_Projection_Northern_Hemisphere.png (na Commons smazal commons:User:Fastily, důvod: No license since 6 September 2013: you may re-upload, but please include a license tag) |
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 1:
Je to takové [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které zobrazuje dostatečně blízké [[bod]]y blízko sebe. Tato vlastnost zobrazení se nazývá '''spojitost'''. Spojité zobrazení je zobecněním pojmu [[spojitá funkce]] na [[Množina|množinách]] [[Číslo|čísel]].
▲'''Spojité zobrazení''' je pojem z [[topologie]] a [[matematická analýza|matematické analýzy]].
▲Je to takové [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které zobrazuje dostatečně blízké [[bod]]y blízko sebe. Tato vlastnost zobrazení se nazývá '''spojitost'''. Spojité zobrazení je zobecněním pojmu [[spojitá funkce]] na [[Množina|množinách]] [[Číslo|čísel]].
== Neformální úvod ==
Řádek 11 ⟶ 10:
== Formální definice ==
=== V topologických prostorech ===
[[Soubor:Continuity_topology.svg|
Zobrazení <math>f</math> mezi topologickými prostory <math>X</math> a <math>Y</math> nazveme '''spojité''', pokud [[vzor množiny|vzor]] každé otevřené množiny v <math>Y</math> je [[otevřená množina]] v <math>X</math>.
Řádek 21 ⟶ 20:
Zobrazení <math>f</math> z [[metrický prostor|metrického prostoru]] prostoru <math>(X, \rho)\,\!</math> do <math>(Y, \sigma)\,\!</math> je spojité, právě když pro každé <math>x_0\in X\,\!</math> a kladné reálné číslo <math>\epsilon\,\!</math> existuje kladné reálné <math>\delta\,\!</math> takové, že pro každý bod <math>x\in X\,\!</math> splňující <math>\rho(x,x_0)<\delta\,\!</math> platí <math>\sigma( f(x_0), f(x)) <\epsilon \,\!</math>. Jinými slovy, vzdálenost obrazů dvou bodů může být libovolně blízká, pokud zvolíme vzdálenost vzorů dostatečně blízko.
Ekvivalentně, zobrazení <math>f:\,X\to Y</math> je spojité v bodě <math>x\in X\,\!</math>, jestliže platí [[implikace]]
:<math>x_n \to x \Rightarrow f(x_n)\to f(x)\,</math>.
=== Spojitá zobrazení na množinách čísel ===
{{Podrobně|spojitá funkce}}
Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká [[Funkce (matematika)|funkce]]. Funkce ''f'' je spojitá v bodě ''x'', pokud pro každé <math>\epsilon>0</math> existuje <math>\delta>0\,\!</math> takové, že <math>|x-y|<\delta\,\!</math> [[implikace|implikuje]] <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon\,\!</math>.
Množina [[Reálné číslo|reálných]] a [[Komplexní číslo|komplexních]] čísel je však také [[topologický prostor]], generován otevřenými [[Interval (matematika)|intervaly]]. Podobně [[metrický prostor]] a [[normovaný lineární prostor]] jsou topologické prostory a různé definice spojitosti zobrazení mezi těmito prostory jsou ekvivalentní.
Řádek 32 ⟶ 31:
== Vlastnosti spojitých zobrazení ==
* [[Skládání zobrazení|Složení]] spojitých zobrazení je opět spojité zobrazení.
* Spojité zobrazení zachovává [[Kompaktní množina|kompaktní množiny]]. Proto i složení <math>f \circ g:X \rightarrow Z</math> spojitého zobrazení <math>f: Y \rightarrow Z</math> s kompaktním zobrazením <math>g:X \rightarrow Y</math> je [[kompaktní zobrazení|zobrazení kompaktní]].
Řádek 63 ⟶ 62:
{{Portály|Matematika}}
{{Autoritní data}}
[[Kategorie:Topologie]]
| |||