Topologický prostor: Porovnání verzí

Přidáno 19 bajtů ,  před 3 lety
m
Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy
(→‎top: typo)
m (Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy)
'''Topologický prostor''' je [[matematická struktura]], která formalizuje pojem ''tvar''. Umožňuje také definovat na prostoru takové pojmy, jako jsou [[konvergence]], [[kompaktnost]] a [[spojitost]]. Topologickými prostory se zabývá [[topologie]]. Vyskytuje se prakticky ve všech odvětvích moderní [[Matematika|matematiky]].
 
== Neformální úvod ==
Pojmy [[uzavřená množina]], [[kompaktní množina]], [[spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálné číslo|reálných čísel]]{{Doplňte zdroj}}. Lze je však definovat podobně na libovolné množině, na které je dána [[metrika]], tzv. [[metrický prostor]]. Metrika je funkce, která splňuje několik axiomů, které zobecňují klasickou euklidovskou vzdálenost.
 
Pojem „topologický prostor“ vznikl proto{{Doplňte zdroj}}, aby bylo možné mnoho metrických pojmů rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
 
Topologie stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin. Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. [[nosná množina]]) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy topologického prostoru.
# <math>\emptyset \in \tau</math>, <math>X \in \tau</math>
# [[sjednocení]] libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z <math>\tau</math> leží v <math>\tau</math>
# [[průnik]] konečného počtu množin z <math>\tau</math> leží v <math>\tau</math>
 
Kolekci <math>\tau</math> říkáme '''[[topologie]]''' na <math>X</math>. Množiny v <math>\tau</math> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)|doplňky]] v <math>X</math> uzavřené množiny.
== Homeomorfní topologické prostory ==
 
[[Soubor:Mug and Torus morph.gif|thumbnáhled|rightvpravo|250px|Spojitá deformace ([[homotopie]]) hrníčku na pneumatiku ([[toroid]]) ilustruje, že tyto dva předměty jsou topologicky shodné.]]
 
Říkáme, že dva topologické prostory jsou '''homeomorfní''', pokud mezi nimi existuje [[homeomorfismus]], tzn. [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] které je [[Prosté zobrazení|prosté]] a [[Zobrazení na|na]], je [[Spojité zobrazení|spojité]] a jeho [[Inverzní zobrazení|inverze]] je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).
O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<math>\subseteq</math>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.
 
Nejhrubší topologie na libovolné množině <math>X</math> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <math>X</math> a [[prázdná množina|prázdnou množinou]] <math>\emptyset</math>, tzn. <math>\tau = \{\emptyset,X\}</math>.
 
Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.
 
{{Portály|Matematika}}
{{Autoritní data}}
 
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Geometrie]]
1 245 454

editací