Taylorova řada: Porovnání verzí

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce <math>f(x)=\logln(\cos(x)) </math>. Nejprve si funkci přepíšeme jako <math>f(x)=\logln(1+(\cos(x)-1)). </math>

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je <math>\logln(1+xz)=xz-\frac{xz^2}{2}+\frac{xz^3}{3}+O(xz^4) </math> a funkce kosinus <math>z=\cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) </math> (používáme notaci velké O, neboli [[Landauova notace|Landauovu notaci]]).

Nyní použijemevyužijeme substitucisubstituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

<math>f(x)=\logln(1+(\cos\,x-1))=(\cos\,x-1)-\frac{1}{2}(\cos\,x -1)^2+\frac{1}{3}(\cos\,x -1)^3+O((\cos\,x -1)^4)=\Bigl(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)\Bigr)-\frac{1}{2}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6) \Bigr)^2 + \frac{1}{3}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+O(x^4) \Bigr)^3 + O(x^8)=

<math>=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^86}{45}+O(x^8) </math>.