Integrační faktor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Úprava textu |
Úprava textu |
||
Řádek 1:
V [[matematika|matematice]] je '''integrační faktor''' [[funkce (matematika)|funkce]], kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující [[Diferenciál (matematika)|diferenciály]], abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení [[obyčejná diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnic]], ale i v [[Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných|diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných]], kde
== Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu ==
Řádek 7:
:<math> y'+ P(x)y = Q(x)</math>
Základní myšlenkou je najít nějakou funkci <math>M(x)</math> nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]], abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické [[diferenciální rovnice#Lineární a nelineární|lineární diferenciální rovnice]] prvního řádu uvedeného tvaru
:<math>M(x) = e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}</math>
:<math>y' e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} + P(x) y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} = Q(x)e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} </math>
:<math>y' e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} + P(x) y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s})</math>
Řádek 23:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}) = Q(x) e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} </math>
Pak
:<math>y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} = \int_{t_0}^{x} Q(t) e^{\int_{s_0}^{t} P(s) \mathrm{d}s} \,\mathrm{d}t + C</math>
:<math>y = e^{- \int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s} \int_{t_0}^x Q(t) e^{\int_{s_0}^{t} P(s) \mathrm{d}s}\, \mathrm{d}t + Ce^{- \int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}</math>
V případě [[homogenní diferenciální rovnice]],
:<math> y = \frac{C}{e^{\int_{s_0}^{x} P(s) \mathrm{d}s}}</math>
Řádek 47:
:<math>M(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}</math>
:<math>M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,\mathrm{d}x} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2} </math> (
:<math>M(x)=\frac{1}{x^2}.</math>
Řádek 74:
== Obecné použití ==
Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = A y^{2/3}</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = A y^{2/3} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}.</math>
Řádek 86:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right).</math>
odtud
:<math>\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0.</math>
Řádek 94:
:<math>\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t + C_1;</math>
toto je [[Implicitní funkce|implicitní]] řešení, které zahrnuje [[neelementární integrál]]. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení.
== Reference ==
| |||