Taylorova řada: Porovnání verzí

Přidáno 11 bajtů ,  před 5 lety
m
Přidání šablony Commonscat dle ŽOPP z 28. 7. 2016; kosmetické úpravy
m (Přidání šablony Commonscat dle ŽOPP z 28. 7. 2016; kosmetické úpravy)
[[Soubor:Sintay.svg|thumb|right|300px|Taylorův rozvoj stupně <span style="color: red">'''1'''</span>, <span style="color: orange">'''3'''</span>, <span style="color:yellow">'''5'''</span>, <span style="color: green">'''7'''</span>, <span style="color: blue">'''9'''</span>, <span style="color: indigo">'''11'''</span> a <span style="color: violet">'''13'''</span> funkce [[Sinus|sin(x)]]. Sin(x) je vyznačen černě.]]
'''Taylorova řada''' je v [[matematika|matematice]] zvláštní [[mocninná řada]].
 
Za určitých předpokladů o [[Funkce (matematika)|funkci]] ''f(x)'' v [[okolí (matematika)|okolí]] [[bod]]u ''a'' lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako '''Taylorův rozvoj'''. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.
 
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. '''Taylorův [[polynom]]'''. Taylorův polynom tedy [[aproximace|aproximuje]] hodnoty [[Funkce (matematika)|funkce]], která má v daném [[bod]]ě [[derivace|derivaci]], pomocí [[polynom]]u, jehož [[koeficient]]y závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
 
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi [[Brook Taylor|Brooku Taylorovi]], který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 [[James Gregory|Jamesem Gregorym]].
* <math>\ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)</math>
[[Goniometrická funkce|Goniometrické funkce]]:
* <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
* <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
* <math>\operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>
* <math>\operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)</math>
 
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce <math>f(x)=\log(\cos(x)) </math>. Nejprve si funkci přepíšeme jako <math>f(x)=\log(1+(\cos(x)-1)). </math>
 
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je <math>\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) </math> a funkce kosinus <math>\cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) </math> (používáme notaci velké O, neboli [[Landauova notace|Landauovu notaci]]).
 
Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:
<math>=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^8}{45}+O(x^8) </math>.
 
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u <math>x, x^3, x^5, x^7, \cdot\cdot\cdot </math> jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.
 
=== Druhý příklad ===
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce <math>g(x)\frac{e^x}{\cos\,x} </math> v bodě 0.
 
Máme známé Taylorovy polynomy: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math> a <math>\cos\,x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math>. K řešení použijeme [[Metoda neurčitých koeficientů|metodu neurčitých koeficientů]].
 
Předpokládejme, že platí <math>\frac{e^x}{\cos\,x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdot\cdot\cdot </math> Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem
<math>\frac{e^x}{\cos\,x}=1-x+x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4) </math>
 
== Odkazy ==
 
=== Reference ===
 
=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml Ukázka aproximace kosinu - graf]
* [http://ivankuckir.blogspot.com/2010/09/tayloruv-polynom-srozumitelne.html Taylorův polynom - názorné vysvětlení]
113 777

editací