Komplexní číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Typografie |
m Přidání šablony Commonscat dle ŽOPP z 28. 7. 2016; kosmetické úpravy |
||
Řádek 7:
== Zápis a související pojmy ==
'''Komplexním číslem''' nazveme číslo tvaru <math> a + b\mathrm{i} \,\! </math>, kde <math> a \,\! </math> a <math> b \,\! </math> jsou [[Reálné číslo|reálná čísla]]. Tento tvar komplexního čísla se nazývá '''algebraický'''. Písmeno <math> \mathrm{i} \,\! </math> značí '''imaginární jednotku''', která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici <math>\mathrm{i}^2+1=0\,,</math> tj. jako [[odmocnina]] z −1, která v reálných číslech neexistuje.
Elektrotechnici používají komplexní čísla k výpočtu rotujících vektorů proudu obvodem, proto
Reálné číslo <math> a \,\! </math> se nazývá '''reálnou částí''' tohoto komplexního čísla a číslo <math> b \,\! </math> jeho '''imaginární částí'''. Pokud je <math> b = 0 \,\! </math>, je dotyčné číslo reálným číslem <math> a \,\! </math>, tj. reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních. Pokud je <math> a = 0 \,\! </math>, mluvíme o '''ryze imaginárním číslu'''.
Řádek 72:
:<math>z=|z|(\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi) = |z| \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} \,</math>.
Modul lze z algebraického tvaru <math> z = a + b\mathrm{i} \,\! </math> určit ze vztahu:
:<math>|z| = \sqrt{ a^2 + b^2 }</math>. Při zobrazení v komplexní rovině je to délka úsečky <math>|\mathrm{OZ}| \,</math>.
Argument lze vyjádřit ze vztahů:
:<math>\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
Řádek 105:
Širším pojmem je funkce komplexní proměnné, jejímž definičním oborem jsou komplexní čísla. Studiem těchto funkcí se zabývá [[komplexní analýza]]. V tomto oboru se podařilo odhalit mnohé souvislosti mezi rozdílnými funkcemi reálné proměnné. Příkladem je [[Eulerův vzorec]], často využívaný při práci s komplexními čísly, ze kterého vyplývá i vztah mezi základními matematickými [[konstanta]]mi
:<math>e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0 \, </math>,
oblíbený nejen mezi matematiky.
Řádek 114:
Komplexní čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní [[těleso (algebra)|těleso]]. Je to největší komutativní algebraické nadtěleso reálných čísel a [[algebraický uzávěr]] tělesa reálných čísel. Toto těleso nelze okruhově uspořádat, protože <math>\mathrm{i}^2=-1<0</math>.
Komplexní čísla <math>\mathbb{C}</math> je možno chápat jako dvoudimenzionální normovanou podílovou algebru nad <math>\mathbb{R}</math>. Existují právě dva [[automorfizmus|automorfizmy]] <math>\mathbb{C}</math> jakožto algebry nad <math>\mathbb{R}</math>: identita a konjugace.
Je zajímavé, že existuje nekonečně mnoho automorfizmů <math>\mathbb{C}</math> jako tělesa (ovšem jsou velmi nespojité a nezachovávají <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>, což znamená, že reálná a čistě imaginární čísla nejsou určena samotnou strukturou tělesa <math>\mathbb{C}</math> – porovnej s [[kvaternion]]y).
Řádek 153:
== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
* [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/stranky/silarova/index.html Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu, Lenka Šilarová, diplomová práce MFF UK]
* [http://artemis.osu.cz/mmmat/txt/sm/kxo.htm Repetitorium středoškolské matematiky (Ostravská univerzita) - Komplexní čísla]
| |||