Wikipedie

Periodická funkce: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Addbot (diskuse | příspěvky)
210 261 editací
m Bot: Odstranění 40 odkazů interwiki, které jsou nyní dostupné na Wikidatech (d:q184743)
Přepsaná úvodní část, logičtější řazení
Řádek 1:
[[Soubor:Periodic function illustration.svg |thumb|upright=1.2|Periodická funkce s periodou P ]]
V [[matematika|matematice]] je '''periodickou''' [[Funkce (matematika)|funkcí]] funkce, která opakuje své hodnoty po určité konečné ''periodě'', vztažené k její nezávislé [[proměnná|proměnné]]. Je-li proměnnou čas, existuje bezpočet příkladů. Například periodické chování vykazují ručičky [[hodiny|hodin]] nebo fáze [[Měsíc]]e. '''Periodický pohyb''' je pohyb, v kterém lze pozice systému vyjádřit pomocí periodických funkcí, kdy všechny mají '''stejnou''' periodu.
[[Soubor:Sine cosine one period.svg |thumb|upright=1.2| Jedna perioda funkce sinus a kosinus]]
[[Soubor:Periode Funktionen.svg|thumb|upright=1.1| Jednoduché periodické funkce]]
'''Periodická funkce''' je v [[matematika|matematice]] [[Funkce (matematika)|funkce]], jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou [[Goniometrická funkce|trigonometrické funkce]] (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.
 
Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá [[amplituda]] a převrácená hodnota periody je [[frekvence]].
Pro funkce nad [[reálné číslo|reálnými čísly]] nebo nad [[celé číslo|celými čísly]] to znamená, že celý [[Graf (funkce)|graf]] lze vytvořit pomocí kopírování určité části opakované v pravidelných intervalech. Přesněji řekneme, že funkce <math>f</math> je '''periodická s periodou <math>t</math>''', jestliže
 
Funkce, které nejsou periodické, se nazývají '''aperiodické'''.
: <math>f(x + t) = f(x)</math>▼
 
== Definice ==
pro '''všechny''' hodnoty <math>x</math> v definiční oblasti <math>f</math>. '''Neperiodická funkce''' je taková, která nemá žádnou takovou periodu <math>t > 0</math>.▼
Přesněji můžeme říci, že funkce <math>f</math> je '''periodická s periodou <math>P</math>''', jestliže
 
▲: <math>f(x + tP) = f(x)</math>
Jednoduchým příkladem je funkce <math>f</math>, který dává „zlomkovou část“ svého argumentu:
 
▲pro '''všechny''' hodnoty <math>x</math> v definiční oblasti <math>f</math>. '''Neperiodická funkce'''Pro jevšechna taková,celá kteráčísla nemán žádnoutaké takovou periodu <math>t > 0</math>.platí
: <math>f( 0.5 ) = f( 1.5 ) = f( 2.5 ) = ... = 0.5.</math>▼
 
▲: <math>f( 0.5x )+ = f( 1.5nP ) = f ( 2.5x ) = ... = 0.5.</math>
Jestliže je funkce <math>f</math> periodická s periodou <math>t</math>, pak pro všechna <math>x</math> v definičním oboru <math>f</math> a pro všechna celá čísla n platí
 
Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například
: <math>f( x + nt ) = f ( x ).</math>▼
 
Ve: výše<math>f( uvedeném0.5 příkladu) je= tedyf( <math>x1.5 ) = 0f( 2.5</math> a) <math>t= ... = 10.5.</math>,
protože <math>f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) = ...</math>.▼
 
▲protožePerioda funkce je rovna 1 a <math>f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) = ...</math>.
Nejmenší kladné číslo <math>t</math>, které je periodou periodické funkce, označujeme jako '''primitivní perioda'''. Průběh periodické funkce je v každém intervalu <math>\langle n t, (n+1) t \rangle</math> stejný.▼
 
▲Nejmenší kladné číslo <math>tP</math>, které je periodou periodické funkce, označujeme jako '''primitivní perioda'''. Průběh periodické funkce je v každém intervalu <math>\langle n tP, (n+1) tP \rangle</math> stejný.
Některými dalšími příklady jsou [[vlna zub pily]], [[čtvercová vlna]] a [[trojúhelníková vlna]].
 
[[Goniometrická funkce|Trigonometrické funkce]] jako jsou sinus a kosinus jsou rovněž periodickými funkcemi s periodou 2π. Základem [[Fourierovy řady|Fourierových řad]] je myšlenka, že ''libovolná'' periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s odpovídajícími periodami.▼
 
Funkce, jejíchž definičním oborem jsou [[komplexní číslo|komplexní čísla]], mohou mít 2 nesouměřitelné periody, bez toho, aby se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. [[eliptická funkce|eliptické funkce]].▼
(„Nesouměřitelnost“ v tomto kontextu znamená že neexistuje reálné číslo které by převádělo po vynásobení jednu periodu na druhou.)
 
== Obecná definice ==
Nechť <math>E</math> je množina s interní [[Operace (matematika)|operací]] <math>+</math>. <math>T</math>-Potom '''P-periodickou funkcí''' nebo '''periodickou funkcí s periodou P''' <math>T</math> na <math>E</math> je [[funkce (matematika)|funkce]] <math>f</math> na <math>E</math> taková, že▼
 
▲: <math>\forall x \in E: f( x + nt P) = f ( x ).</math>.
▲Nechť <math>E</math> je množina s interní [[Operace (matematika)|operací]] <math>+</math>. <math>T</math>-'''periodickou funkcí''' nebo '''periodickou funkcí s periodou''' <math>T</math> na <math>E</math> je [[funkce (matematika)|funkce]] <math>f</math> na <math>E</math> taková, že
 
Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že <math>+</math> je [[komutativní]], v této definici píšeme <math>TP</math> napravo.▼
: <math>\forall x \in E: f(x + T) = f(x)</math>.
 
▲Funkce, jejíchžjejichž definičním oborem jsou [[komplexní číslo|komplexní čísla]], mohou mít 2dvě nesouměřitelné periody, bezaniž toho, abyby se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. [[eliptická funkce|eliptické funkce]]. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé.)
▲Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že <math>+</math> je [[komutativní]], v této definici píšeme <math>T</math> napravo.
 
== Periodické řady ==
Některé přirozeně se vyskytující [[řada (matematika)|řady]] jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného [[racionální číslo|racionálního čísla]] (viz [[periodický rozvoj]]). Můžeme proto mluvit o '''periodě''' nebo '''délce periody''' řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.▼
 
▲[[Goniometrická funkce|Trigonometrické funkce]] jako jsou sinus a kosinus jsou rovněž periodickými funkcemi s periodou 2π. Základem [[Fourierovy řady|Fourierových řad]] je myšlenka, že ''libovolná'' periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s odpovídajícímiperiodami periodamiP, 2P, 3P atd.
▲Některé přirozeně se vyskytující [[řada (matematika)|řady]] jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného [[racionální číslo|racionálního čísla]] (viz [[periodický rozvoj]]). Můžeme proto mluvit o '''periodě''' nebo '''délce periody''' řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.
 
== Translační symetrie ==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Periodická_funkce“