Kvantový harmonický oscilátor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Kvantový popis lineárního oscilátoru: oprava pri zavedeni bezrozmernych velicin u harm. osc. značka: editace z Vizuálního editoru |
m typog |
||
Řádek 44:
:<math>\Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2} \,,</math>
kde <math>A(\Psi)</math> je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu <math>\exp\left(\frac{-\xi^2}{2}\right)</math> dosazením předešlé rovnice pro <math>\Psi</math> získáme novou rovnici pro neznámou funkci <math>A(\Psi)</math>
:<math>\frac{\part^2 A}{\part \xi^2} - 2\xi\frac{\part A}{\part \xi} + (\lambda-1)A = 0\,.</math>
Řádek 51:
Neznámé koeficienty <math>a_k</math> pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro <math>A</math> do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami <math>\xi^k</math>. Po jistém úsilí získáme
:<math>a_k = \frac{(1-\lambda)(5-\lambda)
:<math>a_k = \frac{(3-\lambda)(7-\lambda)
Protože <math>A</math> je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách <math>a_0</math> a <math>a_1</math>. Ukazuje se však, že nekonečná řada <math>A(\Psi)</math> se pro velká <math>\lambda</math> chová jako funkce <math>\exp\left(\frac{-\xi^2}{2}\right)</math> , což znamená, že vlnová funkce <math>\Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2}</math> pro <math>(\xi\to\pm\infty)</math> diverguje. Funkce <math>A(\Psi)</math> proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce <math>A(\Psi)</math> tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým <math>k</math> platí <math>a_{k+2} = 0</math> a pro dosud libovolné <math>\lambda</math> musí splňovat podmínku
:<math>\lambda = 2n+1 \,,</math> pro n=0,1,2,...
| |||