Eukleidovská geometrie: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
m oprava překlepů: zabývájí → zabývají; kosmetické úpravy |
||
Řádek 1:
'''Eukleidovská''' (někdy také '''elementární''' nebo '''Eukleidova''') '''[[geometrie]]''' je založena na [[definice|definicích]] a [[axiom]]ech, které publikoval [[Eukleidés]] v díle ''[[Eukleidovy Základy|Základy]]'' (lat. Elementa).
[[Eukleidés]] se v [[Eukleidovy Základy|Základech]] věnuje nejen geometrii, ale také měření a [[teorie čísel|teorii čísel]]. Geometrie však byla jeho axiomatickým přístupem ovlivněna pravděpodobně nejvíce, proto dnes bývá Eukleidés spojován především s rozvojem geometrie.
Dílo se skládá celkem ze 13 knih. Knihy I-VI jsou věnovány rovinné geometrii, knihy VII-IX jsou aritmetické a část jejich výsledku je aplikována na studium iracionalit v knize X. Knihy XI-XIII se
== Kniha I ==
Řádek 57:
Poslední postulát se dnes formuluje též takto: K dané přímce a bodu, který na ní neleží, lze sestrojit právě jednu [[Rovnoběžky|rovnoběžku]], která prochází daným bodem (tzv. postulát [[rovnoběžnost]]i).
K pátému postulátu jsou rovněž ekvivalentní tvrzení:
* Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým.
* Platí Pythagorova věta.
* Existuje alespoň jeden čtverec
=== Eukleidovy axiomy (Obecné zásady) ===
Nejedná se o axiomy v dnešním slova smyslu, ale spíše o všeobecně platná pravidla – zřejmé pravdy v ideálním antickém světě.
# Veličiny témuž rovné jsou si rovny i navzájem.
# Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky se rovnají.
Řádek 69:
# Když se přidají veličiny rovné k nerovným, i celky se nerovnají.
# Dvojnásobky téhož se navzájem rovnají.
# Poloviny téhož se navzájem rovnají.
# Co se navzájem překrývá, navzájem se rovná.
# Celek je větší než část.
Řádek 82:
# Jsou-li dány dvě úsečky různé velikosti, odečti od větší úsečky délku úsečky kratší. [http://www.geogebratube.org/material/show/id/50386 [řešení<nowiki>]</nowiki>]
# Jestliže dva trojúhelníky mají shodné dvě strany i úhel jimi sevřený, pak jsou tyto trojúhelníky shodné. Mají shodné všechny strany i úhly. (sus)
# V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně shodné. Prodloužíme-li shodné strany (ramena), úhly pod základnou budou též shodné.
# Má-li trojúhelník dva úhly shodné, pak jsou shodné i strany ležící proti těmto úhlům.
# Trojúhelník je jednoznačně zadán jednou stranou a délkami zbývajících dvou stran. (až na symetrii)
Řádek 120:
# Když má trojúhelník s rovnoběžníkem společnou základnu a jsou-li sestrojeny mezi týmiž rovnoběžkami, má rovnoběžník dvakrát větší obsah než trojúhelník.
# Sestrojte rovnoběžník se stejným obsahem jako daný trojúhelník, je-li dán jeho vnitřní úhel.[http://www.geogebratube.org/student/m51400 [řešení<nowiki>]</nowiki>]
# V každém rovnoběžníku mají doplňky rovnoběžníků nad úhlopříčkou stejný obsah.
# Sestrojte rovnoběžník se stejným obsahem jako daný trojúhelník, je-li dán jeden jeho úhel a jedna strana.[http://www.geogebratube.org/student/m51392 [řešení<nowiki>]</nowiki>]
# Sestrojte rovnoběžník se stejným obsahem jako daný čtyřúhelník, je-li dán jeho vnitřní úhel. [http://www.geogebratube.org/student/m51390 [řešení<nowiki>]</nowiki>]
Řádek 130:
Kniha geometrické algebry, většina tvrzení jsou geometrické interpretace algebraických vzorců.
''Věta 11'': Rozdělte danou úsečku tak, aby se obsah obdélníka z celé a kratší části úsečky rovnal obsahu čtverce nad delší části úsečky. (Rozdělení úsečky [[Zlatý řez|zlatým řezem]].)
''Věta 12'': V tupoúhlém trojúhelníku je čtverec strany proti tupému úhlu rovný součtu čtverců nad zbývajícími stranami zvětšenému o dvojnásobek obsahu obdélníka tvořeného ramenem tupého úhlu a jeho pravoúhlým průměten na vnější úsečku druhého ramena. ([[Kosinová věta]] pro tupoúhlé trojúhelníky.)
Řádek 148:
Všech 16 vět tvoří problémy vepisování útvarů do kruhu. Postupně je do kruhu umístěna úsečka dané délky, trojúhelník podobný danému trojúhelníku, čtverec a pravidelný [[pětiúhelník]], šestiúhelník a desetiúhelník. Dále jsou tyto útvary kruhu opsány
[[Soubor:Pentagon construct.gif|thumb|right|Nakreslení pravidelného pětiúhelníku Eukleidovskou konstrukcí]]
''Věta 10'': Sestrojte rovnoramenný trojúhelník, jehož úhly při základně jsou dvakrát větší než úhel při zbývajícím vrcholu.
''Věta 11'': Do daného kruhu vepište pravidelný [[pětiúhelník]].
== Odkazy ==
| |||