Vektorový podprostor: Porovnání verzí

:''Důkaz:'' V prvních třech rovnostech inkluze zleva doprava rovnou plynou z definičních podmínek, resp. z tvrzení [[vektorový podprostor#Alternativní definiční podmínky podprostoru|výše]]. Pro důkaz opačných inkluzí uvažujme vektor <math>\scriptstyle \vec{x} \in P</math>. V rovnosti 1 lze pak za vektor v prvním prostoru <math>\scriptstyle P</math> brát samotné <math>\scriptstyle \vec{x}</math> a ve druhém prostoru <math>\scriptstyle P</math> stačí vzít nulový vektor. V rovnosti 2 lze k důkazu inkluze zprava doleva akorát položit prvek <math>\scriptstyle \alpha</math> z tělesa <math>\scriptstyle T</math> rovno jedné. V rovnosti 3 pak postupujeme analogickým způsobem. K důkazu rovnosti 4 využijme toho, že bereme <math>\scriptstyle \alpha \neq 0</math> a můžeme jím tedy dělit. Inkluze zleva doprava plyne z definice podprostoru. Pro důkaz opačné inkluze vezměme <math>\scriptstyle \vec{x} \in P</math>. Za vektor v prostoru <math>\scriptstyle P</math> na levé straně rovnosti pak stačí vzít vektor <math>\scriptstyle \frac{1}{\alpha} \vec{x}</math>.