Parciální diferenciální rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
značka: editace z Vizuálního editoru |
značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 3:
Parciální diferenciální rovnice jsou zobecněním [[Obyčejná diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnic]], které obsahují neznámou funkci jedné proměnné a její [[derivace]]. Každá obyčejná diferenciální rovnice je současně i parciální diferenciální rovnicí.
Parciální diferenciální rovnice může být používána k popisu jevů, jako jsou zvuk, teplo, [[elektrostatika]], [[elektrodynamika]], proudění tekutin, pružnost, nebo kvantová mechanika.Tyto zdánlivě odlišné fyzikální jevy mohou být formalizovány podobným způsobem, pokud jde o parciální diferenciální rovnice. Stejně jako obyčejné diferenciální rovnice často modelují jednorozměrné dynamické systémy, parciální diferenciální rovnice často modelují multidimenzionální systémy.
Vizualizace řešení rovnice vedení tepla v trojrozměrné rovině.<gallery>
heat_eqn.gif
</gallery>
== Definice ==
Řádek 20 ⟶ 24:
nebo
:<math>\ddot u=c^2\Delta u</math>
kde Δ je [[Laplaceův operátor]].
== Příklady ==
Běžné příklady lineárních parciálních diferenciálních rovnic zahrnují rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice, Helmholtzova rovnice, Klein-Gordon rovnice a [[Poissonova rovnice|Poissonovy rovnice]].
=== Elementární příklad ===
Řádek 67 ⟶ 71:
Laplaceova rovnice pro neznámé funkce dvou proměnných φ má podobu
:<math>\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.</math>
Řešení Laplace rovnice se nazývají [[Harmonická funkce|harmonické funkce]].
====Spojení s holomorfních funkcí====
Řešení Laplaceovy rovnice ve dvou dimenzích je úzce spojené s analytickými funkcemi komplexní proměnné (Holomorfní funkce): reálné a imaginární části jakékoliv analytické funkce jsou konjugované harmonické funkce: oba splňují Laplaceova rovnice a jejich přechody jsou ortogonální . Jestliže ''f''=''u''+''iv'', pak [[Cauchy-Riemannovy rovnice|Cauchy-Riemannova rovnice]] uvádí, že
:<math>u_x = v_y, \quad v_x = -u_y,\,</math>
a to znamená že
Řádek 77 ⟶ 81:
Ginzburg-Landau rovnice se používá při modelování supravodivosti. to je
:<math>iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u=i\gamma u</math>
''kde p'',''q'' ∈ '''C''' a γ ∈ '''R''' jsou konstanty a ''i'' je [[imaginární jednotka]].
== Numerické metody řešení ==
Řádek 86 ⟶ 90:
=== Metoda konečných diferencí ===
Metody konečných diferencí jsou numerické metody pro [[Aproximace|aproximaci]] řešení diferenciálních rovnic, pomocí kterých konečné diferenciální rovnice přiblížují derivace.
=== Metoda konečných objemů ===
Podobně jako u metody konečných diferencí nebo metody konečných prvků jsou hodnoty vypočítány v diskrétních místech značně husté geometrie. "Konečný objem" se odkazuje na malý objem obklopující každý bod uzlu na síti. V metodě konečných objemů jsou plošné integrály v parciální diferenciální rovnice, které obsahují termín divergence, převedeny na objemové integrály pomocí [[Gaussova věta|Gaussovy věty]]. Tyto termíny jsou pak hodnoceny jako toky na povrchu každého konečného objemu.
== Odkazy ==
| |||