Verze z 22. 5. 2016, 12:53 editovat 94.138.97.47 (diskuse) →‎Oskulační kružnice a křivost funkce v bodě: jeste jednou srovnani aby byly vsechny vyrazy stejne ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 22. 5. 2016, 13:00 editovat zrušit editaci 94.138.97.47 (diskuse) uprava celkoveho formatovani Přejít na další porovnání →
Řádek 4: '''Oskulační kružnice rovinné křivky v určitém bodě''' je kružnice, která tímto bodem prochází, má zde s danou rovinnou křivkou společnou první derivaci (společnou tečnu v tomto bodě) a rovněž i druhou derivaci (co nejvíce se v okolí tohoto bodu křivce přimyká). == ~~Fyzikální motivace pojmu oskulační~~Oskulační kružnice == Je dána funkce <math>y=f(x)</math> a bod <math>[x_0,y_0]=[x_0,f(x_0)]</math>, v němž se pokusíme funkci proložit kružnicí tak dobře, jak jen to je možné. Technicky předpokládáme, že má funkce <math>f</math> v okolí bodu <math>x_0</math> alespoň dvě [[derivace]] <math>f'</math> a <math>f''</math>. Dále předpokládáme, že <math>f''(x_0)\neq0</math>.▼ Každý další člen Taylorova rozvoje funkce ''f'' závisí vždy na vyšší derivaci funkce ''f'' , která přidává další informaci o průběhu vyšetřované funkce. Kromě prvních derivací, aproximujících funkci ''f'' přímkou a charakterizujících okamžitou rychlost změny závisle proměnné se změnou nezávisle proměnné, jsou fyzikálně velmi zajímavé i derivace druhé, charakterizující zrychlování či zpomalování těchto změn. Je to zcela nová informace o průběhu funkce, která fyzikálně velmi často odpovídá veličině zvané '''intenzita silového pole'''. Ta je definována '''druhým Newtonovým zákonem''', jako▼ * <math>{\bold{a}=\frac{d^2\bold{s}}{dt^2}=\frac{\bold{F}}{m}}</math>,.......................................................................................................................................................................................( 1 ) a je tedy přímo úměrná veličině '''F''' zvané '''síla'''. Rovnoměrný pohyb tělesa hmoty ''m'' po kružnici poloměru ''r'' konstantní úhlovou rychlostí ω, popíšeme vektorově, parametrickými rovnicemi▼ <math>{s_1=r sin(\omega t)}</math>,▼ <math>{s_2=r cos(\omega t)}</math>........................................................................................................................................................................................( 2 ) Odtud derivováním získáme rychlost:▼ <math>{v_1=r \omega cos(\omega t)}</math>,▼ <math>{v_2=-r \omega sin(\omega t)}</math>................................................................................................................................................................................( 3 ) Vektorový součet obou na sebe kolmých složek rychlosti, dává▼ <math>{v=r\omega\sqrt{cos^2(\omega t)+sin^2(\omega t)}=r\omega}</math>..........................................................................................................................................( 4 ) Druhým derivováním získáme zrychlení:▼ <math>{a_1=-r \omega^2 sin(\omega t)}</math>,▼ <math>{a_2=-r \omega^2 cos(\omega t)}</math>.............................................................................................................................................................................( 5 ) Vektorový součet obou na sebe kolmých složek zrychlení, dává▼ <math>{a=r\omega^2\sqrt{sin^2(\omega t)+cos^2(\omega t)}=r\omega^2}</math>......................................................................................................................................( 6 ) Protože výsledná rychlost, jak vidno, není funkcí času, znamená to, že se s časem nemění. Jelikož ale výsledné zrychlení vyšlo přesto nenulové, nemůže vektor zrychlení obsahovat žádnou složku rovnoběžnou se směrem vektoru rychlosti (jinak by tato složka pochopitelně přispívala k časové změně rychlosti a rychlost by musela být nutně funkcí času, což ale není). I bez použití analytické geometrie tak docházíme k přirozenému závěru, že vektor celkového zrychlení je v tomto případě pohybu kolmý na vektor rychlosti a tedy na okamžitý směr pohybu hmotného bodu. Z druhého Newtonova zákona ( 1 ) pak můžeme ihned vyjádřit velikost odstředivé síly působící na těleso, jež je tímto vektorem generována:▼ <math>F_n=mr\omega^2</math>............................................................................................................................................................................................( 7 ) Ačkoliv je rovnoměrný pohyb po kružnici jen jedním vysoce speciálním případem z množiny všech možných pohybů hmotného bodu v rovině, dá se ukázat, že jakýkoliv myslitelný pohyb lze ve skutečnosti, za pomoci derivací do druhého řádu, vyjádřit jako součet nekonečně mnoha dílčích pohybů po infinitesimálních úsecích kružnic různého poloměru. Na tento poloměr je přitom kladena jediná podmínka – aby aproximoval poloměr zakřivení grafu analyzované funkce na nějakém okolí vybraného bodu ''x''<sub>0</sub>, s přesností do 2. řádu Taylorova rozvoje, abychom dokázali spočítat příslušná zrychlení. To zní jako velmi dobrá motivace pro konstrukci těchto, tzv. '''oskulačních kružnic'''.▼ ~~== Oskulační kružnice a křivost funkce v bodě ==~~ ▲Je dána funkce <math>y=f(x)</math> a bod <math>[x_0,y_0]=[x_0,f(x_0)]</math>, v němž se pokusíme funkci proložit kružnicí tak dobře, jak jen to je možné. Technicky předpokládáme, že má funkce <math>f</math> v okolí bodu <math>x_0</math> alespoň dvě derivace <math>f'</math> a <math>f''</math>. Dále předpokládáme, že <math>f''(x_0)\neq0</math>. Kružnice se středem v bodě <math>[a,b]</math> a poloměrem <math>r</math> je popsána známou rovnicí <math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>, respektive Řádek 74 ⟶ 39: <math>r=\sqrt{(x_0-a)^2+(f(x_0)-b)^2}=\frac{\Big(1+\Big(f'(x_0)\Big)^2\Big)^{3/2}}{\|f''(x_0)\|}.</math> == Křivost funkce v bodě == Čím je menší poloměr oskulační kružnice, tím je graf funkce <math>f</math> v daném bodě zakřivenější. Zavádí se proto pojem '''křivost funkce''' <math>f</math> v bodě <math>x_0</math>, coby převrácená hodnota poloměru <math>r</math> oskulační kružnice v tomto bodě, Řádek 79 ⟶ 46: <math>k=\frac{\|f''(x_0)\|}{\Big(1+\Big(f'(x_0)\Big)^2\Big)^{3/2}}.</math> == Fyzikální interpretace pojmu oskulační kružnice == == Normálové zrychlení a odstředivá síla ==▼ ▲Každý další člen Taylorova rozvoje funkce ''f'' závisí vždy na vyšší derivaci funkce ''f'' , která přidává další informaci o průběhu vyšetřované funkce. Kromě prvních derivací, aproximujících funkci ''f'' přímkou a charakterizujících okamžitou rychlost změny závisle proměnné se změnou nezávisle proměnné, jsou fyzikálně velmi zajímavé i derivace druhé, charakterizující zrychlování či zpomalování těchto změn. Je to zcela nová informace o průběhu funkce, která fyzikálně velmi často odpovídá veličině zvané '''intenzita silového pole'''. Ta je definována '''druhým Newtonovým zákonem''', jako <math>\bold{a}=\frac{d^2\bold{s}}{dt^2}=\frac{\bold{F}}{m},</math> ▲a je tedy přímo úměrná veličině '''F''' zvané '''síla'''. Rovnoměrný pohyb tělesa hmoty ''m'' po kružnici poloměru ''r'' konstantní úhlovou rychlostí ω, popíšeme vektorově, parametrickými rovnicemi ▲<math>{s_1=r sin(\omega t)}</math>, <math>s_2=r cos(\omega t)</math> ▲Odtud derivováním získáme rychlost: ▲<math>{v_1=r \omega cos(\omega t)}</math>, <math>v_2=-r \omega sin(\omega t)</math> ▲Vektorový součet obou na sebe kolmých složek rychlosti, dává <math>v=r\omega\sqrt{cos^2(\omega t)+sin^2(\omega t)}=r\omega</math> ▲Druhým derivováním získáme zrychlení: ▲<math>{a_1=-r \omega^2 sin(\omega t)}</math>, <math>a_2=-r \omega^2 cos(\omega t)</math> ▲Vektorový součet obou na sebe kolmých složek zrychlení, dává <math>a=r\omega^2\sqrt{sin^2(\omega t)+cos^2(\omega t)}=r\omega^2</math> ▲Protože výsledná rychlost, jak vidno, není funkcí času, znamená to, že se s časem nemění. Jelikož ale výsledné zrychlení vyšlo přesto nenulové, nemůže vektor zrychlení obsahovat žádnou složku rovnoběžnou se směrem vektoru rychlosti (jinak by tato složka pochopitelně přispívala k časové změně rychlosti a rychlost by musela být nutně funkcí času, což ale není). I bez použití analytické geometrie tak docházíme k přirozenému závěru, že vektor celkového zrychlení je v tomto případě pohybu kolmý na vektor rychlosti a tedy na okamžitý směr pohybu hmotného bodu. Z druhého Newtonova zákona ~~( 1 )~~ pak můžeme ihned vyjádřit velikost odstředivé síly působící na těleso, jež je tímto vektorem generována: <math>F_n=mr\omega^2</math> ▲Ačkoliv je rovnoměrný pohyb po kružnici jen jedním vysoce speciálním případem z množiny všech možných pohybů hmotného bodu v rovině, dá se ukázat, že jakýkoliv myslitelný pohyb lze ve skutečnosti, za pomoci derivací do druhého řádu, vyjádřit jako součet nekonečně mnoha dílčích pohybů po infinitesimálních úsecích kružnic různého poloměru. Na tento poloměr je přitom kladena jediná podmínka – aby aproximoval poloměr zakřivení grafu analyzované funkce na nějakém okolí vybraného bodu ''x''<sub>0</sub>, s přesností do 2. řádu Taylorova rozvoje, abychom dokázali spočítat příslušná zrychlení. To zní jako velmi dobrá motivace pro konstrukci těchto, tzv. '''oskulačních kružnic'''. ▲=== Normálové zrychlení a odstředivá síla === Vrátíme-li se na závěr k naší fyzikální motivaci pojmu oskulační kružnice, pak hledané vyjádření normálové složky zrychlení hmotného bodu, pohybujícího se po dráze ''g''(''x'') rychlostí ''v'', bude dáno vztahem <math>{a_n=\omega^2r=\frac{v^2}{r}=v^2k=\frac{v^2\|g''(x_0)\|}{[1+(g'(x_0))^2]^{3/2}}},</math>~~,...........................................................................................................................( 20 )~~ a jemu odpovídající odstředivá síla tedy bude <math>{F_n=\frac{mv^2\|g''(x_0)\|}{[1+(g'(x_0))^2]^{3/2}}}</math>~~.....................................................................................................................................................................( 21 )~~ [[Kategorie:Geometrie]]

Oskulační kružnice: Porovnání verzí