Metrický prostor: Porovnání verzí

*: <math>\rho (f,g) = \max_sup_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}</math> (tzv. uniformnísupremová metrika)

Buď <math>(X,\rho)</math> metrický prostor, <math>x\in X, \epsilonvarepsilon>0, M\subset X</math>:

* Otevřená koule se středem v bodě x a poloměrem ε je množina <math>B(x,\epsilonvarepsilon)=\{y\in X; \rho (x,y)<\epsilonvarepsilon\}</math>. Někdy místo o otevřené kouli mluvíme o ε-okolí bodu x, pak ho značíme <math>\mathcal{U}(x,\epsilonvarepsilon)</math>. Prstencové (redukované) ε-okolí bodu x je<math>P(x,\epsilonvarepsilon)=\mathcal{U}(x,\epsilonvarepsilon) \setminus \{x\}</math>.

* Uzavřená koule je množina <math>\bar{B}(x,\epsilonvarepsilon)=\{y\in X;\rho (x,y)\leq \epsilonvarepsilon\}</math>.

* <math>\rho_M=\rho|_{M\text{x}M}</math> (zúžení na <math>M\text{x}M</math>) je metrika na <math>M</math> a prostor <math>\rho (M,\rho _M)</math> se nazývá podprostor metrického prostoru <math>(X,\rho)</math>.

* Řekneme, že x je vnitřní bod množiny M, jestliže existuje ε>0 splňující <math>\mathcal{U}(x,\epsilonvarepsilon)\subset M</math>. Množina všech vnitřních bodů množiny M nazýváme vnitřkem množiny M a značíme <math>M^0</math> nebo <math>Int M</math>.

* Bod x je hromadným bodem množiny M, jestliže platí <math>\forall \epsilonvarepsilon>0: P(x,\epsilonvarepsilon)\cap M \neq \varnothing</math>. Množina hromadných bodů množiny M se nazývá derivace množiny M a značí se symbolem <math>M'</math>.

* [[Uzávěr množiny|Uzávěrem množiny]] M rozumíme množinu <math>\bar{M}=\{x\in X; \forall \epsilonvarepsilon>0: \mathcal{U}(x,\epsilonvarepsilon)\cap M\neq\varnothing\}</math>

* Řekneme, že bod x je hraničním bodem množiny M, jestliže platí <math>\forall \epsilonvarepsilon>0: (\mathcal{U}(x,\epsilonvarepsilon)\cap M \neq \varnothing)\orand (\mathcal{U}(x,\epsilonvarepsilon)\cap (X\setminus M)\neq\varnothing)</math>. Množinu všech hraničních bodů nazýváme [[Hranice množiny|hranice]] a značíme ji <math>\delta M</math>. Z definice vidíme, že tyto body patří do uzávěru množiny i do uzávěru doplňku množiny.

* Množina M je [[Hustá množina|hustá]] v X, jestliže <math>\bar{M}=X</math>.

* Vzdálenost bodu x od množiny M definujeme předpisem <math>dist(x,M):={\undersetinf_{z\in M}{inf \rho (x,y)}</math>, kde <math>\inf</math> znační [[infimum]].

* Diametrem (průměrem) množiny M rozumíme číslo definované předpisem <math>diam M = f(n) = \begin{cases} 0, & \text{pokud } M=\varnothing, \\ {\undersetsup_{x,y \in M}{sup \rho(x,y)}, & \text{pokud }M\neq\varnothing, \end{cases}</math>, , kde <math>\sup</math> značí [[supremum]].

* Množina M se nazývá [[Omezená množina|omezená]], jestliže <math>\exists K: diam M<K</math>.