Taylorova řada: Porovnání verzí

Přidáno 3 787 bajtů ,  před 6 lety
Setřídila jsem Maclaurinovy řady základních funkcí a některé přidala. Přibyly příklady výpočtů Taylorova polynomu. Čerpala jsem ze článku Taylor series na anglické Wikipedii.
(Setřídila jsem Maclaurinovy řady základních funkcí a některé přidala. Přibyly příklady výpočtů Taylorova polynomu. Čerpala jsem ze článku Taylor series na anglické Wikipedii.)
značky: editace z Vizuálního editoru odkaz do cizojazyčné Wikipedie
'''Taylorova řada''' je v [[matematika|matematice]] zvláštní [[mocninná řada]].
 
Za určitých předpokladů o [[Funkce (matematika)|funkci]] ''f(x)'' v [[okolí (matematika)|okolí]] [[bod]]u ''a'' lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako '''Taylorův rozvoj'''. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.
 
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. '''Taylorův [[polynom]]'''. Taylorův polynom tedy [[aproximace|aproximuje]] hodnoty [[Funkce (matematika)|funkce]], která má v daném [[bod]]ě [[derivace|derivaci]], pomocí [[polynom]]u, jehož [[koeficient]]y závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
:<math>f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>
 
== Maclaurinovy řady běžných funkcí ==
== Příklady Taylorova rozvoje ==
* Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
* aproximovanou hodnotu funkce <math> \mathrm{e}^x</math> v blízkosti bodu <math>x = 0</math> určíme tak, že se omezíme pouze na ''n'' členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně ''n-1''
Taylorův rozvoj: <math>\mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
 
 
* <math>\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {x^n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)</math><br>
 
* <math>{(1 + x)}^r = 1 + {r \choose 1}x + {r \choose 2}x^2 + {r \choose 3}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {r \choose n}x^n \; \mbox{ pro } r \in \mathbb{R}, x \in (-1,1)</math>, kde <math>\binom{r}{n}= \prod_{k=1}^n \frac{r-k+1}{k}=\frac{r\cdot(r-1)\cdot\cdot\cdot(r-n+1)}{n!}</math>
 
* <math>\sinln (1 + x) = x - \frac{x^32}{3!2} + \frac{x^53}{5!3} - \frac{x^74}{7!4} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=01}^\infty {(-1)}^{n+1} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty1,1\infty)rangle</math>
 
 
* <math>a^x = 1 + \frac{x \ln a}{1!} + \frac{x^2 \ln^2 a}{2!} + \frac{x^3 \ln^3 a}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(x \ln a)}^n}{n!} \; \mbox{ pro } a>0, x \in (-\infty,\infty)</math>
 
* <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
 
* <math>\ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)</math>
[[Goniometrická funkce|Goniometrické funkce]]:
*<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
* <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
* <math>\operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>
* <math>\operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)</math>
 
* <math>{(1 + x)}^r = 1 + {r \choose 1}x + {r \choose 2}x^2 + {r \choose 3}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {r \choose n}x^n \; \mbox{ pro } r \in \mathbb{R}, x \in (-1,1)</math>
 
[[Cyklometrická funkce|Cyklometrické funkce]]:
* <math>\operatorname{arccosarcsin}\,x = \frac{\pi}{2} - x -+ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} -+ \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} -+ \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = \frac{\pi}{2} - x -+ \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle</math>
 
* <math>\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1} \frac{x^n}{n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1\rangle</math>
 
* <math>\operatorname{arctgarccos}\,x = \frac{\pi}{2}-\arcsin\,x=\frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} +- \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = \frac{\pi}{2} - x - \sum_{n=01}^\infty \frac{(2 n - 1)!!}^{(2 n)!!} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle</math>
 
* <math>a^x = 1 + \frac{x \ln a}{1!} + \frac{x^2 \ln^2 a}{2!} + \frac{x^3 \ln^3 a}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(x \ln a)}^n}{n!} \; \mbox{ pro } a>0, x \in (-\infty,\infty)</math>
 
* <math>\ln (1 + operatorname{arctg}\,x) = x - \frac{x^23}{23} + \frac{x^35}{35} - \frac{x^47}{47} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=10}^\infty {(-1)}^{n+1} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in (\langle-1,1\rangle</math>
 
* <math>\ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)</math>
* <math>\operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>
 
[[Hyperbolické funkce]]:
* <math>\coshsinh x = 1x + \frac{x^23}{23!} + \frac{x^45}{45!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
 
* <math>\operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)</math>
 
* <math>\operatorname{arctgh}\,cosh x = 1 + \sumfrac{x^2}{2!} + \infinfrac{x^4}_{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+12 n}}{2n+1(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-1\infty,1\infty)</math><br>
 
* <math>\operatorname{arcsin}tanh\,x = x +- \frac{1}{23}\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{315}{4}\frac{x^5}{5} + -\frac{117}{2135}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} +\cdot\cdot\cdot \cdots; =\mbox{ pro } x + \sum_{n=1}^\inftyin \Bigl(-\frac{(2 n - 1)!!\pi}{(2 n)!!} ,\frac{x^{2 n + 1}\pi}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangleBigr)</math>
[[Hyperbolometrická funkce|Hyperbolometrické funkce]]:
* <math>\operatorname{argsh}\,x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)}x^{2n+1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle </math>
* <math>\operatorname{arctgh}\,x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)</math>
 
== PříkladyVýpočet Taylorova rozvojepolynomu ==
Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.
 
=== První příklad ===
* <math>\operatorname{arccos}\,x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = \frac{\pi}{2} - x - \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle</math>
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce <math>f(x)=\log(\cos(x)) </math>. Nejprve si funkci přepíšeme jako <math>f(x)=\log(1+(\cos(x)-1)). </math>
 
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je <math>\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) </math> a funkce kosinus <math>\cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) </math> (používáme notaci velké O, neboli [[Landauova notace|Landauovu notaci]]).
 
Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:
* <math>\operatorname{arctg}\,x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle</math>
 
<math>f(x)=\log(1+(\cos\,x-1))=(\cos\,x-1)-\frac{1}{2}(\cos\,x -1)^2+\frac{1}{3}(\cos\,x -1)^3+O((\cos\,x -1)^4)=\Bigl(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)\Bigr)-\frac{1}{2}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6) \Bigr)^2 + \frac{1}{3}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+O(x^4) \Bigr)^3 + O(x^8)=
</math>
 
* <math>=-\sinh x = frac{x ^2}{2}+ \frac{x^34}{3!24} + -\frac{x^56}{5!720}\frac{x^4}{8} + \cdots = frac{x^6}{48}-\sum_frac{n=0x^6}{24}+O(x^\infty 8)=-\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} -\; \mboxfrac{ pro } x \in (^4}{12}-\infty,\inftyfrac{x^8}{45}+O(x^8) </math>.
 
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u <math>x, x^3, x^5, x^7, \cdot\cdot\cdot </math> jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.
 
=== Druhý příklad ===
* <math>\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math>
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce <math>g(x)\frac{e^x}{\cos\,x} </math> v bodě 0.
 
Máme známé Taylorovy polynomy: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math> a <math>\cos\,x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math>. K řešení použijeme [[Metoda neurčitých koeficientů|metodu neurčitých koeficientů]].
 
Předpokládejme, že platí <math>\frac{e^x}{\cos\,x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdot\cdot\cdot </math> Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem
* <math>\operatorname{arctgh}\,x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)</math>
 
<math>e^x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4)\cos\,x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4)\Bigl(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4)\Bigr)=c_0-\frac{c_0}{2}x^2+\frac{c_0}{4!}x^4+c_1x-\frac{c_1}{2}x^3+\frac{c_1}{4!}x^5+c_2x-\frac{c_2}{2}x^4+\frac{c_2}{4!}x^6+c_3x^3-\frac{c_3}{2}x^5+\frac{c_3}{4!}x^7+O(x^4) </math>
 
Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin
 
<math>=c_0+c_1x+\Bigl(c_2-\frac{c_0}{2}\Bigr)x^2+\Bigl(c_3-\frac{c_1}{2}\Bigr)x^3+\Bigl(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\Bigr)x^4+O(x^4) </math>
 
Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení
 
<math>\frac{e^x}{\cos\,x}=1-x+x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4) </math>
 
== Odkazy ==
 
=== Reference ===
''V tomto článku byly použity [[Wikipedie:WikiProjekt Překlad/Rady|překlady]] textů z článku [[:en:Taylor_series|'''Taylor series''']] na anglické Wikipedii.''
 
== Odkazy ==
=== Související články ===
* [[Laurentova řada]]
Neregistrovaný uživatel