Deformace: Porovnání verzí

Přidáno 6 802 bajtů ,  před 15 lety
význam složek, objemová a tvarová deformace
m (pružná a nepružná deformace)
(význam složek, objemová a tvarová deformace)
Pojmem '''deformace''' [[těleso|tělesa]] rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení [[síla|síly]]. Silové působení mění vzájemné [[poloha|polohy]] [[atom|atomů]], ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o '''pružné (elastické) deformaci'''. Pružné deformace se vyskytují u [[pružná látka|pružných látek]]. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odeznění působení síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o '''nepružné deformaci''' popř. úžeji o '''plastické deformaci'''. Tyto deformace lze pozorovat např. u [[plastická látka|plastických látek]].
 
Zůstávají-li během deformace bodu původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako '''rovinná'''.
 
 
Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu [[napětí|napětí]], které v tělese vyvolávají na [[tahová síla|tahové]], [[tlaková síla|tlakové]], [[smyková síla|smykové]], [[ohybová síla|ohybové]] nebo [[torzní síla|torzní]].
 
Pro malé deformace jsou velikosti posunů <math>\mathrm{d}x_i</math> v nedeformovaném stavu a jim odpovídající <math>\mathrm{d}y_j</math> v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací <math>e_{ij}</math> a <math>\overline{e}_{ij}</math> můžeme považovat za ekvivalentní.
 
 
Často se používá rozklad tenzoru <math>e_{ij}</math> na [[izotropní tenzor|izotropní část]] a [[deviátor]]
:<math>e_{ij} = \frac{e_I\delta_{ij}}{3} + \left(e_{ij}-\frac{e_I\delta_{ij}}{3}\right)</math>,
kde <math>e_I</math> je [[stopa (algebra)|stopa]] tenzoru malých deformací a <math>\delta_{ij}</math> je [[Kroneckerův symbol]]. Označuje se
:<math>e_{ij}^{(s)} = \frac{e_I\delta_{ij}}{3}</math>
jako izotropní část a
:<math>e_{ij}^{(d)} = e_{ij} - \frac{e_I\delta_{ij}}{3}</math>
jako '''deviátor deformací'''.
 
====Význam složek tenzoru malých deformací====
Význam diagonálních složek tenzoru <math>e_{ij}</math> lze určit následující úvahou.
 
Výraz <math>\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_1</math> je čtverec [[délka|délky]] zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení <math>l_0^2</math>. Podobně pro výraz <math>\mathrm{d}y_i\mathrm{d}y_i</math>, který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení <math>l^2</math>. Potom platí
:<math>\frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=2e_{11}</math>
Pro malé deformace je <math>l_0\dot= l</math>, takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu <math>\frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=\frac{(l-l_0)(l+l_0)}{l_0^2}\dot=\frac{(l-l_0)2l_0}{l_0^2} = 2\frac{l-l_0}{l_0}</math>, čímž získáme
:<math>e_{11}\dot= \frac{l-l_0}{l_0}</math>
 
Složka tenzoru <math>e_{11}</math> malých deformací tedy odpovídá [[relativní prodloužení|relativní změně délky]] elementu, který byl původně [[rovnoběžky|rovnoběžný]] s osou <math>x_1</math> [[kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavy souřadnic]]. Podobně složky <math>e_{22}</math> a <math>e_{33}</math> přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami <math>x_2</math> a <math>x_3</math>.
 
 
Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v [[rovina|rovině]] dané kartézskými osami <math>x_1, x_2</math>. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky <math>e_{11}, e_{22}, e_{12}=e_{21}</math>. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. <math>e_{11}=e_{22}=0, e_{12}\ne 0</math>, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou <math>x_1</math>, tzn. lze jej před deformací popsat [[vektor]]em <math>(\mathrm{d}x_1,0)</math>, lze po deformaci popsat vektorem <math>\left(\mathrm{d}x_1, \frac{\part u_2}{\part x_1}\mathrm{d}x_1\right)</math>, kde <math>u_2</math> je složka vektoru posunutí podél osy <math>x_2</math>.
Pro [[úhel]] <math>\alpha_1</math> mezi vektory <math>(\mathrm{d}x_1,0)</math> a <math>\left(\mathrm{d}x_1,\frac{\part u_2}{\part x_1}\mathrm{d}x_1\right)</math> platí
:<math>\operatorname{tg}\,\alpha_1 = \frac{\part u_2}{\part x_1}</math>
 
Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou <math>x_2</math>, který je možné před deformací popsat vektorem <math>(0,\mathrm{d}x_2)</math>, určit složky tohoto elementu po deformaci jako <math>\left(\frac{\part u_1}{\part x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right)</math>.
Pro úhel <math>\alpha_2</math> mezi vektory <math>(0,\mathrm{d}x_2)</math> a <math>\left(\frac{\part u_1}{\part x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right)</math> platí
:<math>\operatorname{tg}\,\alpha_2 = \frac{\part u_1}{\part x_2}</math>
 
 
Pro malé deformace lze použít [[aproximace#Přibližné výrazy goniometrických funkcí|aproximaci]] <math>\operatorname{tg}\,\alpha_i \approx \alpha_i</math>, což umožňuje psát
:<math>2 e_{12} = \frac{\part u_2}{\part x_1} + \frac{\part u_1}{\part x_2} = \alpha_1 + \alpha_2</math>
 
Smíšená složka tenzoru deformace <math>e_{12}</math> tedy odpovídá polovině úhlu <math>\alpha_1+\alpha_2</math>, o který se při deformaci změní [[pravý úhel]] mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami <math>x_1</math> a <math>x_2</math>. Úhel <math>\alpha_1+\alpha_2</math> se nazývá [[úhel smyku]].
 
V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na na úhel mezi elementy po deformaci. Složka <math>e_{12}</math> má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.
 
Obdobným způsobem lze položit složku <math>e_{13}</math> rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku <math>e_{23}</math> rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.
 
===Objemová a tvarová deformace===
Uvažujme v diferenciálním [[okolí (matematika)|okolí]] bodu, ve kterém známe složky <math>e_{ij}</math>, [[kvádr]], jehož hrany mají před deformací délky <math>l_{01}, l_{02}, l_{03}</math>, přičemž tyto hrany jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]] se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na <math>l_1, l_2, l_3</math>. Při vhodné volbě [[souřadnicová soustava|souřadnicové soustavy]], tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze [[čistý tah]] nebo [[čistý tlak]]), platí
:<math>\frac{l_i-l_{0i}}{l_{0i}} = e_{ii}</math>
pro <math>i=1,2,3</math>.
 
Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako <math>l_i=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}</math>. Pro [[objem]] kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme
:<math>V=l_1l_2l_3 = (l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{3}3) = l_{01}l_{02}l_{03} + l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33}) = V_0 + V_0 e_I</math>
což bývá obvykle zapisováno jako
:<math>e_I = \frac{V-V_0}{V}</math>,
kde <math>V_0</math> je objem tělesa před deformací a <math>V</math> je objem tělesa po deformaci. [[Stopa (algebra)|Stopa]] <math>e_I</math> tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy '''objemovou deformaci'''. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části <math>e_{ij}</math> je stejná jeko stopa celého tenzoru <math>e_{ij}</math>, odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru <math>\operatorname{Tr}\,e^{(d)}</math> je [[nula|nulová]], tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy '''tvarovou deformaci'''.
 
== Podívejte se také na ==
6 016

editací