Deformace: Porovnání verzí

Přidáno 4 447 bajtů ,  před 15 lety
tenzor deformace
(tenzor deformace)
Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho '''deformace''', mluvíme o [[tuhé těleso|tuhém tělesu]].
 
==Deformace v mechanice kontinua==
== Podívejte se také na ==
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu [[kontinuum|kontinua]].
 
 
V [[čas]]e <math>t=0</math> můžeme popsat polohu částic kontinua jako <math>y_j=y_j(x_i,0)=x_j</math>. V čase <math>\Delta t</math> pak bude poloha odpovídajících částic určena jako <math>y_j=y_j(x_i,\Delta t)</math>. Lze definovat '''[[vektor]] posunutí''' <math>u_i</math> jako
:<math>u_i=y_i-x_i</math>
Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako
:<math>y_j=x_j + u_j(x_i)</math>
Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také [[posunutí]] a [[rotace|otáčení]] kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám [[vzdálenost]]í částic kontinua.
 
 
Uvažujeme-li libovolný bod <math>x_j</math> kontinua a v jeho okolí bod <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math>, pak na konci deformačního pohybu se bod z <math>x_j</math> přesune do bodu <math>y_j</math> a bod <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> do bodu <math>y_j+\mathrm{d}y_j</math>. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu <math>x_j</math> jako <math>u_j</math> a vektor posunutí odpovídající bodu <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> jako <math>u_j+\mathrm{d}u_j</math>, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu <math>x_j</math>, můžeme použít zápis
:<math>\mathrm{d}y_j = \mathrm{d}x_j + \mathrm{d}u_j = \mathrm{d}x_j + \left(\frac{\mathrm{d}u_j}{\mathrm{d}x_i}\right)\mathrm{d}x_i</math>
Na počátku děje je vzdálenost mezi body <math>x_j</math> a <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> určena jako <math>\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j</math>. Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech <math>x_j</math> a <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> určena jako <math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j</math> (kde bylo použito [[Einsteinovo sumační pravidlo]]). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou <math>x_j</math> a konečné <math>y_j</math>, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j</math>
 
Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\varepsilon_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k</math>
kde byl zaveden tzv. '''tenzor velkých deformací'''
:<math>\varepsilon_{lk} = \frac{1}{2}\left[\frac{\part u_k}{\part x_l} + \frac{\part u_l}{\part x_k} + \left(\frac{\part u_j}{\part x_l}\right)\left(\frac{\part u_j}{\part x_k}\right)\right]</math>
 
Tenzor velkých deformací je [[funkce (matematika)|funkcí]] [[souřadnice|souřadnic]], tzn. <math>\varepsilon_{lk}=\varepsilon_{lk}(x_i)</math>, a je to [[symetrický tenzor]] druhého řádu.
 
 
===Tenzor malých deformací===
Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí <math>u_i</math> se souřadnicemi <math>x_j</math>, tzn. jsou malé také [[parciální derivace]] <math>\frac{\part u_i}{\part x_j}</math>. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen <math>\left(\frac{\part u_j}{\part x_l}\right)\left(\frac{\part u_j}{\part x_k}\right)</math> malý ve srovnání s členy <math>\frac{\part u_k}{\part x_l}</math> a <math>\frac{\part u_l}{\part x_k}</math> a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. '''tenzorem malých deformací'''
:<math>e_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part u_k}{\part x_l} + \frac{\part u_l}{\part x_k}\right)</math>
 
Pro malé deformace lze tedy platí
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j-\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2e_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k \,</math>
 
 
Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem
:<math>\overline{e}_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part u_k}{\part y_l} + \frac{\part u_l}{\part y_k}\right)</math>
a platí
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\overline{e}_{lk}\mathrm{d}y_l\mathrm{d}y_k</math>
 
 
Pro malé deformace jsou velikosti posunů <math>\mathrm{d}x_i</math> v nedeformovaném stavu a jim odpovídající <math>\mathrm{d}y_j</math> v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací <math>e_{ij}</math> a <math>\overline{e}_{ij}</math> můžeme považovat za ekvivalentní.
 
== Podívejte se také na ==
* [[Rotace]]
* [[Posuvný pohyb|Translace]]
* [[Topologická deformace]]
* [[Saint-Venantova rovnice]]
* [[Rychlost deformace]]
 
[[Kategorie:Mechanika]]
[[fr:Déformation des matériaux]]
[[sv:Deformation]]
 
Pozor, pojem deformace není zcela postačující, je nutno dále rozlišit posunutí a přetvoření (např. u vetknutého nosníku zatíženého na volném konci osamělou silou je největší posunutí na volném konci - průhyb, úhel natočení, ale největší přetvoření je u místa vetknutí).
6 016

editací