Reprezentace (grupa): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m náhrada chybné zkratky a pod. za správnou apod.; kosmetické úpravy |
m Odstranění linku na rozcestník Akce s použitím robota - Změněn(y) odkaz(y) na akce (fyzika); kosmetické úpravy |
||
Řádek 4:
Ekvivalentně se říká, že <math>V</math> je G-[[modul (algebra)|modul]], neboli <math>G</math> má [[akce (algebra)|akci]] na <math>V</math>.
Pokud <math>V</math> je [[topologický vektorový prostor]] a <math>G</math> je [[topologická grupa]], je požadováno, aby indukované zobrazení ([[akce (fyzika)|akce]]) <math> V \times G \to V </math> bylo [[spojitost|spojité]].
== Příklad ==
Nechť <math>G=S_3</math> je grupa [[permutace|permutací]] tříprvkové množiny. Pak můžeme definovat reprezentaci G na <math>\mathbb{R}^2</math> takto: identitě přiřadíme identické zobrazení na <math>\mathbb{R}^2</math>, cyklu (123) přiřadíme otočení o <math>120 ^\circ</math>,
cyklu (132) otočení o <math>240^\circ,</math> transpozici (12) zrcadlení kolem osy <math>y</math>, transpozici (13) zrcadlení kolem osy se směrem <math>\langle -\sqrt{3}/2, 1/2\rangle</math> a transpozici (23) zrcadlení kolem osy se směrem <math>\langle \sqrt{3}/2, 1/2\rangle</math>. Tato reprezentace ilustruje fakt, že <math>S_3</math> je grupa izometrií rovnostranného trojúhelníka v rovině (prvky abstraktní grupy <math>S_3</math> jsou ''reprezentovány'' jako izometrie roviny, které zachovávají trojúhelník).
Jiná reprezentace G, tzv. triviální, je reprezentace G na <math>\mathbb{R}</math>, kdy každému prvku G přiřadíme identické zobrazení <math>\mathbb{R}</math> na sebe.
Další reprezentace této grupy je tzv. znaménková reprezentace, což je reprezentace na <math>\mathbb{R}</math> přiřazující každému prvku permutační grupy jeho znaménko. Je známo, že jiné [[ireducibilní reprezentace]], než tyto tři uvedené, neexistují.
| |||