Burali-Fortiho paradox: Porovnání verzí

Uvažujme nyní na chvilku o množině <math> \mathbb{O}n \,\! </math>, která obsahuje všechna ordinální čísla. Taková množina je určitě ostře dobře uspořádaná relací <math>\in</math> a navíc každý svůj prvek -– [[ordinální číslo]] -– obsahuje určitě i jako podmnožinu. To ovšem znamená, že <math> \mathbb{O}n \,\! </math> je sama také ordinální číslo, které je větší než všechna ordinální čísla a tedy i než ona sama. To je ale samozřejmě nesmysl.

V době publikování byl Burali-Fortiho výsledek často zlehčován s tím, že se jedná o „příliš velkou“ množinu -– na „rozumných“ množinách k něčemu podobnému docházet nemůže. Proto se také vžilo označení paradox, ačkoliv ve skutečnosti se jednalo o spor v klasické definici množiny jako „souboru objektů (prvků) vymezených pomocí operace náležení“.

Teprve později, společně s dalšími „paradoxy“, z nichž jako nejdůležitější se ukázal [[Russellův paradox]], vedl tento výsledek ke kompletnímu přepracování základů teorie množin na axiomatickém základě -– viz [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin]].

V axiomatické teorii množin se mi již žádným způsobem nepodaří zkonstruovat výše uvedenou množinu <math> \mathbb{O}n \,\! </math> -– Burali-Fortiho výsledek je vlastně důkazem toho, že <math> \mathbb{O}n \,\! </math> není množina, ale [[vlastní třída]].