Vektor: Porovnání verzí

Přidáno 14 148 bajtů ,  před 4 lety
m
revert vandalismů
m (revert vandalismů)
{{Různé významy|tento=matematickému pojmu}}
namená to opět, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostorů je smíšený součin 3 vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je to [[skalár|pseudoskalár]]).
 
'''Vektor''' představuje ve [[Fyzika|fyzice]] a [[vektorový počet|vektorovém počtu]] veličinu, která má kromě [[velikost]]i i [[směr (fyzika)|směr]]. Tím se liší od obyčejného [[Číslo|čísla]], neboli [[skalár]]u, které má pouze velikost.
 
Příkladem vektoru je [[síla]] — má velikost a směr, a více sil se skládá dohromady podle [[skládání sil|zákona o skládání sil]] - [[rovnoběžník]]ového pravidla. Vektory se ve fyzice obvykle popisují pomocí [[Soustava souřadnic|souřadnic]], které ovšem závisí na volbě souřadnicových os.
 
V [[Matematika|matematice]] je '''vektor''' definován jako prvek [[Vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Pokud je vektorový prostor konečnědimenzionální, lze v něm zavést [[Báze (algebra)|bázi]] a dále [[souřadnice]] daného vektoru v této bázi. Souřadnice vektoru tvoří [[uspořádaná n-tice|uspořádané ''n''-tice]] [[číslo|čísel]], označovaných jako ''složky'' (též ''komponenty'') ''vektoru''. Speciálně, pokud se za vektorový prostor volí [[kartézský součin]] množin [[reálná čísla|reálných]] či [[komplexní čísla|komplexních čísel]], tj. pokud je za vektorový prostor bráno <math> \scriptstyle \mathbb{R}^n</math> či <math> \scriptstyle \mathbb{C}^n</math> pro nějaké [[přirozené číslo]] ''n'', tak se jeho prvky nazývají '''aritmetické vektory'''.
 
Počet složek vektoru souvisí s [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzí]] vektorového prostoru.
 
== Definice ==
 
Neformálně je '''vektor''' veličina charakterizovaná [[velikost]]í (v matematice číslem, ve fyzice počtem jednotek) a [[směr]]em. Často je [[Reprezentace vektoru|reprezentovaná]] graficky jako šipka. Příkladem je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod“ nebo „Přitahován ke středu Země silou 70 [[newton]]ů“.
 
Ve fyzice se vektory obvykle zapisují v souřadnicích. Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá [[invariance]] vůči změně souřadnic. Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem <math>x_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j</math>, pak složky libovolného vektoru <math>\mathbf{v}</math> se podobně transformují podle vztahu
:<math>v_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} v_j</math>,
kde <math>v_i</math> jsou složky vektoru <math>\mathbf{v}</math> v původní soustavě souřadnic a <math>v_i^\prime</math> jsou složky vektoru <math>\mathbf{v}</math> v nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako <math>\mathbf{v}^\prime = \mathbf{A}\cdot\mathbf{v}</math>, kde <math>\mathbf{A}</math> je transformační [[matice]] se složkami <math>a_{ij}</math>. Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením (v klasické mechanice), nebo [[Lorentzova transformace|Lorentzovým transformacím]] (v [[speciální teorie relativity|speciální relativitě]]).
 
Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému [[bod]]u prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme o '''volném vektoru'''. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (t.j. má počátek), pak hovoříme o '''vázaném vektoru'''.
 
Vektory mohou být shodné <math>(x_i)=(x_i)</math> (tj. mají stejnou velikost a stejnou orientaci) a nebo opačné (tj. <math>(-x_i)</math> je stejný vektor ale s opačným směrem než vektor <math>(x_i)</math>)
 
Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří o [[vektorové pole|vektorovém poli]].
 
V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakého [[vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Tyto prostory můžou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit, že i [[funkce (matematika)|funkce]] je vektor, anebo ''stav fyzikálního systému'' je vektor (v kvantové mechanice).
 
=== Pravý a axiální vektor ===
 
Jako '''pravý vektor''' označujeme takovou vektorovou veličinu, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původní [[Otočení|otočená]] nebo [[prostorová inverze|zrcadlená]], vyjde nám „stejný“ vektor (t.j. jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce jako souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí
:<math>\mathbf{V}(-x_i) = \mathbf{V}(x_i),</math>
kde <math>(-x_i)</math> označuje souřadnicovou soustavu, která má opačnou [[Orientace (matematika)|orientaci]] jako <math>(x_i)</math> .
 
Vektorovou veličinu, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, označujeme jako '''axiální vektor''' ('''nepravý vektor''' nebo '''pseudovektor'''). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí
:<math>\mathbf{V}(-x_i) = -\mathbf{V}(x_i).</math>
 
Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhé [[vnější mocnina|vnější mocniny]] prostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek ''(n-1)''-ní vnější mocniny <math>\wedge^{n-1} \mathbf{V}</math> ''n''-rozměrného vektorového prostoru '''V'''. Za předpokladu volby skalárního součinu a orientace na '''V''' pak můžeme takový prvek ztotožnit s vektorem (prvkem '''V''') pomocí [[Hodgeova dualita|Hodgeovy duality]]. Znaménko výsledného vektoru pak závisí na volbě orientace.
 
Příkladem pravého vektoru je [[polohový vektor]] <math>\mathbf{r}</math> nebo vektor [[rychlost]]i <math>\mathbf{v}</math>, axiálním vektorem je např. vektor [[úhlová rychlost|úhlové rychlosti]] <math>\mathbf{\Omega}</math>. Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocí [[vektorový součin|vektorového součinu]] (je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením).
 
== Reprezentace vektoru ==
Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jako '''a'''; to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti označování patří <math>\vec{a}</math> nebo {{podtržení|''a''}}, zvlášť při ručním psaní. Alternativně lze použít i ''ã''.
 
Vektory se obvykle v grafech nebo jiných [[diagram]]ech označují jako šipky, jak je znázorněno na obrázku : <center>[[Soubor:VectorAB.svg|Grafická reprezentace vektoru.]]</center>
Zde bod ''A'' se nazývá ''báze'' nebo ''počátek''; bod ''B'' se nazývá ''hlava'', ''vrchol'', ''koncový bod'', nebo ''cíl''. Délka šipky představuje velikost vektoru, směr šipky představuje směr vektoru.
 
Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svých [[Souřadnicový zápis vektorů|složek]], např. <math>a_i</math> pro vektor <math>\mathbf{a}</math>.
 
V pokročilejší matematické či fyzikální literatuře se pro vektory žádné speciální značení nepoužívá a jsou označovány stejně jako ostatní veličiny, popř. se používá složkový zápis. Např. místo <math>\mathbf{a}</math> se použije <math>a_i</math> nebo pouze <math>a</math>.
 
[[Kvantová fyzika]] používá pro zápis vektoru tzv. [[Diracova symbolika|Diracovu symboliku]].
 
V [[diferenciální geometrie|diferenciální geometrii]] se vektor v dané [[Soustava souřadnic|souřadné soustavě]] často vyjadřuje pomocí operátorů [[parciální derivace|parciálních derivací]], tedy např. jako
 
:<math>\mathbf{A} = a_x \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x} +
a_y \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} y}+
a_z \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} z}\;.</math>
 
S výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace - pomocí [[řetízkové pravidlo|řetízkového pravidla]].
 
== Operace s vektory ==
=== Sčítání vektorů ===
Pro dva vektory <math>\mathbf{A}, \mathbf{B}</math> ze stejného vektorového prostoru je definován
jejich [[součet]] <math>\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}</math>. Pro složky vektorů platí
<math>C_i = A_i + B_i</math>
 
Pokud jsou dva vektory na sebe [[Ortogonalita|kolmé]], lze velikost výsledného vektoru určit [[Pythagorova věta|Pythagorovou větou]]. Výsledný vektor je možno reprezentovat graficky a to doplněním do vektorového rovnoběžníku (nechť je cíl výsledného vektoru bod C, počátek bod A, cíl vektoru 1 bod B a cíl vektoru 2 bod D. Úhlopříčka AC vektorového rovnoběžníku ABCD pak představuje výsledný vektor. Délka této vektorové úsečky je rovna velikosti výsledného vektoru.)
 
=== Násobení vektoru číslem ===
Pro libovolný vektor <math>\mathbf{A}</math> a číslo <math>k</math> je definován vektor <math>k\mathbf{A}</math> se složkami
:<math>k \cdot A_i</math>.
 
=== Součin vektorů ===
[[Součin]] vektorů lze definovat různým způsobem. Používané součiny vektorů jsou
* [[tenzorový součin]]
* [[skalární součin]]
* [[vektorový součin]]
* [[smíšený součin]]
* [[dvojitý vektorový součin]]
 
=== Vlastnosti vektorových operací ===
Mějme vektory <math>\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}</math> a [[skalár]]y <math>a, b</math>. Pak platí [[komutativita|komutativní zákon]] pro sčítání vektorů
:<math>\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}</math>
 
Pro sčítání dvou vektorů platí [[asociativita|asociativní zákon]], tzn.
:<math>\mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = (\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C}</math>
 
Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy
:<math>a(b \mathbf{A}) = (ab) \mathbf{A}</math>
 
Dále platí [[distributivita|distributivní zákony]]
:<math>(a+b) \mathbf{A} = a \mathbf{A} + b \mathbf{A}</math>
:<math>a(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = a \mathbf{A} + a \mathbf{B}</math>
 
Existuje [[#Nulový vektor|nulový vektor]] <math>\mathbf{0}</math> splňující následující vztahy
:<math>\mathbf{A} + \mathbf{0} = \mathbf{A}</math>
:<math>\mathbf{0}\cdot\mathbf{A} = \mathbf{0}</math>
:<math>a \mathbf{0} = \mathbf{0}</math>
 
Ke každému vektoru <math>\mathbf{A}</math> existuje ''opačný vektor'' <math>-\mathbf{A}</math>, pro nějž platí
:<math>\mathbf{A} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{0}</math>
:<math>-(a \mathbf{A}) = (-a) \mathbf{A} = a (-\mathbf{A})</math>
 
Pokud <math>\mathbf{B} = \mathbf{A} + \mathbf{C}</math>, pak
:<math>\mathbf{C} = \mathbf{B} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{B} - \mathbf{A}</math>
 
Za [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] dvou vektorů <math>\mathbf{A}, \mathbf{B}</math> je považován vektor <math>\mathbf{C} = a \mathbf{A} + b \mathbf{B}</math>, kde ''a'', ''b'' jsou libovolná [[číslo|čísla]], jehož složky jsou
:<math>C_i = a A_i + b B_i</math>
 
 
Dva [[lineární závislost|lineárně závislé]] vektory označujeme jako ''kolineární'' (''rovnoběžné''). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné. [[Vektorový součin]] dvou kolineárních vektorů v <math>\mathbb{R}^3</math> je nulový.
 
Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako ''komplanární''. Komplanární vektory leží v jedné rovině. [[Smíšený součin]] komplanárních vektorů v <math>\mathbb{R}^3</math>je nulový.
 
Pro součiny vektorů v <math>\mathbb{R}^3</math> platí důležité vztahy, jako je např. [[jacobiho identita]] pro dvojitý vektorový součin, tzn.
:<math>\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) + \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) + \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0</math>
 
Dále tzv. ''Lagrangeova identita''
:<math>(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})</math>
 
Speciálním případem Lagrangeovy identity je vztah
:<math>{(\mathbf{A} \times \mathbf{B})}^2 = {\mathbf{A}}^2 {\mathbf{B}}^2 - {(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^2</math>
 
 
Dalšími často užívanými vztahy jsou
:<math>(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = [\mathbf{A}(\mathbf{B} \times \mathbf{D})]\mathbf{C} - [\mathbf{A}(\mathbf{B}\times \mathbf{C})]\mathbf{D}</math>
:<math>\mathbf{A} \times [\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D})] = (\mathbf{A} \times \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \times \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})</math>
 
=== Invariance operací ===
Sčítání vektorů je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, t.j. <math>\mathbf{A}(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{A}\mathbf{y}</math> pro nějakou lineární transformaci '''A''', přičemž '''x''' a '''y''' označují vektory.
 
Vektorový součin dvou vektorů z <math>\mathbb{R}^3</math> je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením). To znamená <math>\mathbf{A}(\mathbf{v}\times \mathbf{w})=\mathbf{A}(\mathbf{v})\times \mathbf{A}(\mathbf{w})</math> pro libovolnou rotaci '''A'''. Znamená to, že vektorový součin je dobře definován i na abstraktním třírozměrném reálném vektorovém prostorů, pokud je na něm definován skalární součin a [[Orientace (matematika)|orientace]]. Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně“, až na znaménko (je to ''pseudovektor'').
 
Skalárni součin je invariantní vůči všem rotacím, ale navíc i zrcadlením (a nejen u třirozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.)
 
Smíšený součin tří vektorů z <math>\mathbb{R}^3</math> je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí <math>SL(3)</math>). Znamená to opět, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostorů je smíšený součin 3 vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je to [[skalár|pseudoskalár]]).
 
=== Úhel dvou vektorů ===
lze určit ze znalosti [[skalární součin|skalárního součinu]] a [[norma vektoru|norem]] obou vektorů (<math>\|\mathbf{A}\| = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}</math>) pomocí vztahu: