Vektor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Verze 12584800 uživatele 195.113.181.200 (diskuse) zrušena - vandal |
m linky značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 15:
Ve fyzice se vektory obvykle zapisují v souřadnicích. Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá [[invariance]] vůči změně souřadnic. Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem <math>x_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j</math>, pak složky libovolného vektoru <math>\mathbf{v}</math> se podobně transformují podle vztahu
:<math>v_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} v_j</math>,
kde <math>v_i</math> jsou složky vektoru <math>\mathbf{v}</math> v původní soustavě souřadnic a <math>v_i^\prime</math> jsou složky vektoru <math>\mathbf{v}</math> v nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako <math>\mathbf{v}^\prime = \mathbf{A}\cdot\mathbf{v}</math>, kde <math>\mathbf{A}</math> je transformační [[matice]] se složkami <math>a_{ij}</math>. Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením (v klasické mechanice), nebo [[Lorentzova transformace|Lorentzovým transformacím]] (v [[speciální teorie relativity|speciální relativitě]]).
Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému [[bod]]u prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme o '''volném vektoru'''. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (t.j. má počátek), pak hovoříme o '''vázaném vektoru'''.
Řádek 24 ⟶ 23:
Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří o [[vektorové pole|vektorovém poli]].
V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakého [[vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Tyto prostory můžou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit, že i [[funkce (matematika)|funkce]] je vektor, anebo ''stav fyzikálního systému'' je vektor (v kvantové mechanice).
=== Pravý a axiální vektor ===
Řádek 31 ⟶ 29:
Jako '''pravý vektor''' označujeme takovou vektorovou veličinu, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původní [[Otočení|otočená]] nebo [[prostorová inverze|zrcadlená]], vyjde nám „stejný“ vektor (t.j. jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce jako souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí
:<math>\mathbf{V}(-x_i) = \mathbf{V}(x_i),</math>
kde <math>(-x_i)</math> označuje souřadnicovou soustavu, která má opačnou [[
Vektorovou veličinu, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, označujeme jako '''axiální vektor''' ('''nepravý vektor''' nebo '''pseudovektor'''). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí
:<math>\mathbf{V}(-x_i) = -\mathbf{V}(x_i).</math>
Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhé [[vnější mocnina|vnější mocniny]] prostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek ''(n-1)''-ní vnější mocniny <math>\wedge^{n-1} \mathbf{V}</math> ''n''-rozměrného vektorového prostoru '''V'''. Za předpokladu volby skalárního součinu a
Příkladem pravého vektoru je [[polohový vektor]] <math>\mathbf{r}</math> nebo vektor [[rychlost]]i <math>\mathbf{v}</math>, axiálním vektorem je např. vektor [[úhlová rychlost|úhlové rychlosti]] <math>\mathbf{\Omega}</math>. Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocí [[vektorový součin|vektorového součinu]] (je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením).
Řádek 131 ⟶ 129:
Sčítání vektorů je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, t.j. <math>\mathbf{A}(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{A}\mathbf{y}</math> pro nějakou lineární transformaci '''A''', přičemž '''x''' a '''y''' označují vektory.
Vektorový součin dvou vektorů z <math>\mathbb{R}^3</math> je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením). To znamená <math>\mathbf{A}(\mathbf{v}\times \mathbf{w})=\mathbf{A}(\mathbf{v})\times \mathbf{A}(\mathbf{w})</math> pro libovolnou rotaci '''A'''. Znamená to, že vektorový součin je dobře definován i na abstraktním třírozměrném reálném vektorovém prostorů, pokud je na něm definován skalární součin a [[Orientace (matematika)|orientace]]. Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně“, až na znaménko (je to ''pseudovektor'').
Skalárni součin je invariantní vůči všem rotacím, ale navíc i zrcadlením (a nejen u třirozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.)
Řádek 145 ⟶ 143:
* [[norma vektoru]]
* [[Gradient (matematika)|gradient]] [[vektorové pole|vektorového pole]]
* [[divergence]]
* [[rotace (operátor)|rotace]]
| |||