Wikipedie

Konečné těleso: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
Roboti
1 710 827 editací
m Odstraňuji šablonu {{link GA}} (vkládanou Wikidaty - skript od Amira)
uspořádání, zjednodušení, doplnění
Řádek 1:
'''Konečné těleso''' (též '''Galoisovo těleso''' na počest [[Évariste Galois|Évarista Galoise]], obvykle značeno <math>GF(p^k)</math>) je v [[matematika|matematice]], přesněji v [[abstraktní algebra|abstraktní algebře]], označení pro takové [[Těleso (algebra)|těleso]], které má konečný počet prvků.
 
== Vlastnosti ==▼
Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné [[teorie čísel]], [[algebraická geometrie|algebraické geometrie]] a [[kryptografie]]. Lze je klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že [[až na]] [[izomorfismus]] existuje vždy jen jediné konečné těleso o <math>p^k</math> prvcích, kde <math>p</math> je [[prvočíslo]] a <math>k</math> je kladné [[přirozené číslo]]. [[Charakteristika (matematika)|Charakteristika]] daného tělesa je přitom rovna právě prvočíslu <math>p</math>.
* Počet prvků konečného tělesa je roven <math>p^k</math>, kde <math>p</math> je [[prvočíslo]] a <math>k</math> je kladné [[přirozené číslo]].
* [[Charakteristika (matematika)|Charakteristika]] tělesa <math>GF(p^k)</math> je rovna právě prvočíslu <math>p</math>.
* Konečná tělesa jsou [[Komutativita|komutativní]].
* Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že [[až na]] [[izomorfismus]] existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
* Žádné konečné těleso není [[algebraicky uzavřené těleso|algebraicky uzavřené]] neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math>, můžeme zkonstruovat mnohočlen <math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k) + 1</math>, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math> není jeho kořenem.▼
 
== Reprezentace ==
 
<math>GF(p^1)</math> jsou celá čísla modulo dané prvočíslo <math>p</math> neboli <math>Z_p</math>. Typická reprezentace Galoisova tělesa <math>GF(modulop^k)</math> složenéjsou číslopolynomy nenínad těleso,<math>Z_p</math> protožemodulo násobkůdefiniční dělitelůpolynom modulastupně je<math>k</math>. víceTěleso atímto žádnýzpůsobem zdostaneme nichprávě nemákdyž multiplikativníje inverznídefiniční prvek)polynom [[ireducibilní polynom|ireducibilní]].
Typická reprezentace Galoisova tělesa <math>GF(p^k)</math> jsou polynomy nad <math>Z_p</math> modulo definiční polynom stupně <math>k</math>. Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom [[ireducibilní polynom|ireducibilní]].
 
Ne vždy je ''x'' primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní [[grupa|grupy]]). Například pro GF(3<sup>2</sup>) při definičním polynomu ''x''<sup>2</sup>+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít ''x''+1. Při definičním polynomu ''x''<sup>2</sup>+''x''-1 ale ''x'' stačí.
 
== Využití ==
Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné [[teorie čísel]], [[algebraická geometrie|algebraické geometrie]] a [[kryptografie]].
 
=== Využití v kódování ===
 
Řádek 16 ⟶ 24:
Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li <math>y</math> reprezentace <math>\alpha^\ell</math>, pak reprezentaci <math>\alpha^{\ell+1}</math> dostaneme buď jako <math>2y</math>, pokud je <math>2y<2^{2^k}</math> nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud <math>2y\ge2^{2^k}</math>).
Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele <math>a,b</math>) pomocí <math>\alpha^{\log a+\log b}</math>. Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.
 
▲== Vlastnosti ==
▲* Žádné konečné těleso není [[algebraicky uzavřené těleso|algebraicky uzavřené]] neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math>, můžeme zkonstruovat mnohočlen <math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k) + 1</math>, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math> není jeho kořenem.
 
{{Pahýl}}
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Konečné_těleso“