Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin: Porovnání verzí

→‎Vztah NBG a ZFC: pouze množiny a třídy -> pouze množiny, zatímco třídy
m (překlep)
(→‎Vztah NBG a ZFC: pouze množiny a třídy -> pouze množiny, zatímco třídy)
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější '''[[ZF]]''' či '''[[ZFC]]''' (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) - libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''[[ZF]]''' - mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''[[ZF]]''' (říkáme také, že '''NBG''' a '''[[ZF]]''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.
 
Na rozdíl od '''[[ZFC]]''', jejímž objektem jsou pouze [[množina|množiny]], azatímco [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:<br />
<math>Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math><br />
Někdy se k axiomům '''NBG''' přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či [[axiom silného výběru]], výsledná teorie se pak značí '''NBG+AS'''. Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž mohutnost):<br />
Neregistrovaný uživatel