Komplexní číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
spell značka: editace z Vizuálního editoru |
revert na vhodnější tvar, se standardními pojmy, bez duplicit a nevhodných formulací ("amplituda vektoru v pravoúhlém trojúhelníku") |
||
Řádek 1:
[[Soubor:Complex conjugate picture.svg|thumb|upright|Znázornění komplexního čísla <math>z = x + \mathrm{i}y</math> a čísla k němu [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženého]] <math>\bar z = x - \mathrm{i}y</math> v [[komplexní rovina|komplexní rovině]]. ''r'' je [[absolutní hodnota]] (norma)
'''Komplexní čísla''' (z latinského ''complexus'', složený) vznikají rozšířením oboru [[reálné číslo|reálných čísel]] tak, aby v něm každá algebraická rovnice měla příslušný počet řešení podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]]. Například [[kvadratická rovnice]] ''x''<sup>2</sup> + 1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení, protože její [[diskriminant]] (−4) je záporný a jeho odmocnina zde není definována. Komplexní číslo má dvě složky, reálnou a imaginární, a zapisuje se nejčastěji jako ''a'' + ''b''i, přičemž i znamená [[imaginární jednotka|imaginární jednotku]], definovanou vztahem i<sup>2</sup> = −1. Zmíněná rovnice pak má dvě řešení, ± i. Pro operace s komplexními čísly platí pravidla pro počítání s dvojčleny.
Komplexní čísla lze interpretovat geometricky. Zde je příklad v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských pravoúhlých souřadnicích]]. Jako se reálná čísla zobrazují na reálné ose '''''Re''''', budou imaginární čísla zobrazena na kolmé imaginární ose '''''Im''''' a každé komplexní číslo se zobrazí jako bod v rovině se souřadnicemi [''x'', ''y'']. Číslo tvaru [''x'', 0] je reálné, číslo tvaru [0, ''y''] je ryze imaginární. Absolutní hodnota komplexního čísla je pak vzdálenost bodu [''x'', ''y''] od počátku souřadnic a číslo komplexně sdružené (tj. číslo [''x'', −''y'']) je zrcadlovým obrazem bodu [''x'', ''y''] podle reálné osy x, tedy '''''Re'''''.
Komplexní čísla jsou významná nejen v matematice, ale také ve fyzice, zejména v elektrotechnice, v optice, v hydrodynamice i jinde, kde je většina čísel komplexního charakteru
▲Komplexní čísla jsou významná nejen v matematice, ale také ve fyzice, zejména v elektrotechnice, v optice, v hydrodynamice i jinde, kde je většina čísel komplexního charakteru. V přírodě a reálném světě existují jen komplexní čísla. I banky užívají komplexní čísla.
== Zápis a související pojmy ==
Řádek 60 ⟶ 58:
* <math> {a + \mathrm{i}b \over c + \mathrm{i}d} = {(a + \mathrm{i}b) (c - \mathrm{i}d) \over (c + \mathrm{i} d) (c - \mathrm{i} d)} = {(ac+bd) + \mathrm{i} (bc-ad) \over c^2 + d^2} = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + \mathrm{i} \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right). </math>
Pro komplexní číslo <math>z=a+b\mathrm{i}</math>
'''Norma''' komplexního čísla <math>z</math> je definována jako <math>|z|:=\sqrt{z\bar{z}}</math>. Platí, že pro libovolná komplexní čísla <math>z,w</math> je <math>|zw|=|z||w|</math>, t.j. norma součinu je součin norem.
Řádek 89 ⟶ 87:
:<math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|} e^{\mathrm{i}(\varphi_1 - \varphi_2)}</math>
:<math>z^n = |z|^n e^{\mathrm{i}n\varphi} \,</math>
Pro převod komplexních čísel z goniometrického tvaru na algebraický stačí zjistit hodnotu <math>\cos \varphi</math> a <math>\sin \varphi</math> a roznásobit závorku jako při práci s klasickým mnohočlenem:
| |||