Parita funkce: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
doplnění příkladů značka: editace z Vizuálního editoru |
doplnění značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 3:
== Sudé funkce ==
[[Soubor:Function x^2.svg|thumb|Sudá funkce : y = x<sup>2</sup>]]
Funkce ''f(x)'' je '''sudá funkce''', pokud pro všechna ''x'', pro která je ''f(x)'' definováno, je definováno i ''f(−x)'' a platí <math>f(-x) = f(x)</math>.
To právě znamená, že [[Graf (funkce)|graf]] sudé funkce je [[Osová symetrie|osově souměrný]] podle osy ''y''.
Mezi sudé funkce patří všechny [[Mocninná funkce|mocninné funkce]] se sudým mocnitelem (např. ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>−4</sup>
== Liché funkce ==
[[Soubor:Function-x3.svg|thumb|Lichá funkce : y = x<sup>3</sup>]]
Funkce ''f(x)'' je '''lichá funkce''', pokud pro všechna ''x'', pro která je ''f(x)'' definováno, je definováno i ''f(−x'') a platí <math>f(-x) = -f(x)</math>.
To právě znamená, že [[Graf (funkce)|graf]] liché funkce je [[středová souměrnost|středově souměrný]] podle [[Soustava souřadnic|počátku soustavy souřadnic]].
Mezi liché funkce patří všechny mocninné funkce s lichým mocnitelem (např. ''x'', ''x''<sup>3</sup>, 1/''x''
== Vlastnosti ==
Řádek 25 ⟶ 23:
* Funkce, která je zároveň sudá i lichá, je jedině nulová funkce ''f(x)'' = 0 (s definičním oborem symetrickým kolem nuly).
* Pokud je lichá funkce definovaná v počátku, tak tam má funkční hodnotu 0.
* [[Součet]] dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce.
* Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce.
Řádek 30 ⟶ 29:
* [[Součin]] dvou sudých funkcí je sudá funkce, součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
* Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
* [[
* [[Složená funkce]] s vnitřní funkcí sudou a libovolnou vnější funkcí je sudá. Složená funkce s vnitřní funkcí lichou je lichá pro vnější funkci lichou a sudá pro vnější funkci sudou.
* [[Taylorova řada]] sudé funkce obsahuje pouze sudé mocniny, Taylorova řada liché funkce obsahuje pouze liché mocniny (odtud název).▼
* [[Fourierova řada]] [[Periodická funkce|periodické]] sudé funkce obsahuje pouze kosinové [[algebraický člen|členy]], Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinové členy.▼
=== Algebraické vlastnosti ===
* [[Lineární kombinace]] sudých funkcí je sudá funkce, sudé funkce tvoří [[vektorový prostor]] nad [[Reálné číslo|reálnými čísly]]. Obdobně je lineární kombinace lichých funkcí lichá funkce a liché funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly.
* Vektorový prostor všech reálných funkcí je [[direktní součet]] vektorových prostorů sudých a lichých funkcí, tzn. libovolnou funkci :<math>f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}</math>
Např. přirozená exponenciála
:<math>e^x = \cosh x + \sinh x</math>
* Množina sudých funkcí tvoří nad reálnými čísly [[Algebra nad tělesem|algebru]], množina lichých funkcí nikoliv.
=== Analytické vlastnosti ===
* [[Derivace]] sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.
* Libovolná [[primitivní funkce]] k liché funkci definované na intervalu je sudá funkce, ale nejvýše jedna primitivní funkce k sudé funkci může být lichá.
▲* [[Taylorova řada]] sudé funkce v počátku (tj. [[Maclaurinova řada]]) obsahuje pouze sudé mocniny,
▲* [[Fourierova řada]] [[Periodická funkce|periodické]] sudé funkce obsahuje pouze kosinové
== Související články ==
| |||