Řada (matematika): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
opravky v Dirichletově a Leibnizově kritériu |
řádkování, úprava odrážek, doplnění Leibnizova kritéria |
||
Řádek 37:
Pro absolutně konvergentní řady platí [[komutativita|komutativní]], [[asociativita|asociativní]] a [[distributivita|distributivní]] zákony. Přesouváním členů absolutně konvergentní řady se nezmění konvergence ani součet řady.
Máme-li dvě absolutně konvergentní řady <math>\sum_{n=1}^\infty a_n, \sum_{n=1}^\infty b_n</math> se součty <math>s_a, s_b \,</math>, pak platí
Řádek 56 ⟶ 55:
[[Nutná podmínka|Nutnou podmínkou]] konvergence řady <math>\sum a_n</math> je
:<math>\lim_{n \to \infty} a_n=0</math>
Pokud součet řady <math>\sum a_n</math> vyjádříme ve tvaru <math>s=s_n+R_n \,</math>, kde <math>s_n \,</math> je <math>n \,</math>-tý částečný součet a <math>R_n \,</math> je zbytek řady po <math>n \,</math>-tém částečném součtu, pak [[nutná a postačující podmínka|nutnou a postačující podmínku]] konvergence této řady lze vyjádřit vztahem
:<math>\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} (s-s_n)=0</math>
Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. ''Bolzanova-Cauchyova kritéria''. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> takové číslo <math>N(\varepsilon)</math>, že pro libovolná <math>m>N(\varepsilon), n>N(\varepsilon)</math> platí
Řádek 69 ⟶ 66:
K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.
Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.
Řádek 99 ⟶ 95:
==== [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizovo]] kritérium ====
Pro [[alternující řada|alternující řady]], které zapíšeme jako <math>\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n}a_n</math>, kde <math>a_n\geq0 \,</math>, lze použít ''Leibnizovo kritérium''. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje <math>
==== [[Carl Friedrich Gauss|Gaussovo]] kritérium ====
<ref>[http://eom.springer.de/g/g043420.htm Springer online, Gauss criterion]</ref>Nechť <math>(a_n) \,</math> je kladná [[posloupnost (matematika)|posloupnost]], pro niž existují <math>q, \alpha \in \mathbb{R}</math>, kladné <math>\varepsilon</math> a omezená posloupnost <math>(c_n) \,</math> taková, že pro všechny <math>n \in \mathbb{N}</math> platí:
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = q - \frac{\alpha}{n} + \frac{c_n}{n^{1 + \varepsilon}}</math>
* Když <math>q < 1 \,</math> nebo když <math>q = 1 \,</math> a <math>\alpha > 1 \,</math>, pak řada <math>\sum a_n</math> konverguje.
* Když <math>q > 1 \,</math> nebo když <math>q = 1 \,</math> a <math>\alpha \leq 1</math>, pak řada <math>\sum a_n</math> diverguje.
Řádek 111 ⟶ 105:
==== [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichletovo]] kritérium ====
Nechť <math>(a_n) \,</math> je reálná posloupnost a <math>(b_n) \,</math> komplexní posloupnost pro které platí:
* <math>(a_n) \,</math> je od jistého indexu monotonní a <math>\lim_{n \to \infty} a_n=0</math>;
* <math>(b_n) \,</math> má omezenou posloupnost částečných součtů.
Pak řada <math>\sum a_n b_n</math> konverguje.
==== [[Niels Henrik Abel|Abelovo]] kritérium ====
Nechť <math>(a_n) \,</math> je reálná posloupnost a <math>(b_n) \,</math> komplexní posloupnost pro které platí:
* <math>(a_n) \,</math> je monotonní a omezená;
* <math>\sum b_n</math> je konvergentní řada.
Pak řada <math>\sum a_n b_n</math> konverguje.
Řádek 140 ⟶ 130:
'''Důkaz:''' Označme ''K'' [[Rozšířená reálná čísla|rozšířené reálné číslo]] rovné součtu kladných členů řady (je-li jich nekonečně mnoho, pak jej lze definovat jako součet řady s vynecháním nekladných členů nebo ekvivalentně jako [[supremum]] součtů konečných množin kladných členů). Podobně buď ''Z'' součet záporných členů řady.
Pak jsou jen tři možnosti:<br />
'''c)''' Obě jsou nekonečná. Potom přerovnání konvergující k číslu ''s'' sestrojíme tak, že nejprve budeme nejdříve vkládat kladné čeny (počínaje největšími), dokud posloupnost částečných součtů (známe-li prvních ''n'' prvků vytvářeného přerovnání, známe i prvních ''n'' částečných součtů) nepřesáhne ''s''. Poté budeme vkládat záporné členy (počínaje těmi, které jsou v absolutní hodnotě největší), dokud posloupnost částečných součtů neklesne pod ''s''. Tento postup opakujeme donekonečna. Pokud řada obsahuje nulové členy, pak při každé "změně směru" vložíme jeden, dokud všechny nevyčerpáme. Tento postup lze formalizovat pomocí [[Věta o definici rekurzí|věty o definici rekurzí]].▼
▲b) přesně jedno z nich je konečné, pak řada v každém přerovnání diverguje k tomu z nich, které je nekonečné
▲c) Obě jsou nekonečná. Potom přerovnání konvergující k číslu ''s'' sestrojíme tak, že nejprve budeme nejdříve vkládat kladné čeny (počínaje největšími), dokud posloupnost částečných součtů (známe-li prvních ''n'' prvků vytvářeného přerovnání, známe i prvních ''n'' částečných součtů) nepřesáhne ''s''. Poté budeme vkládat záporné členy (počínaje těmi, které jsou v absolutní hodnotě největší), dokud posloupnost částečných součtů neklesne pod ''s''. Tento postup opakujeme donekonečna. Pokud řada obsahuje nulové členy, pak při každé "změně směru" vložíme jeden, dokud všechny nevyčerpáme. Tento postup lze formalizovat pomocí [[Věta o definici rekurzí|věty o definici rekurzí]].
Jelikož ''K'' i ''Z'' jsou nekonečné, neexistuje žádný index <math>n_0\,\!</math>, za nímž by již nedošlo ke změně směru. Z toho též plyne, že všechny členy původní řady budou vyčerpány, jedná se tedy skutečně o přerovnání.
Řádek 156 ⟶ 143:
== Násobení řad ==
Pro absolutně konvergentní řady <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> a <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> platí:
:<math>\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right) = \sum_{n=2}^\infty {\sum_{k=1}^{n-1} {a_k b_{n-k}}}</math>
Řádek 163 ⟶ 149:
:<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}= 2.</math>
Obecně lze říci, že geometrická řada <math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math> konverguje právě tehdy, je-li <math>|z| < 1 \,</math>.
* ''[[Aritmetická řada]]'' je řada, v níž každý následující prvek je zvětšen o [[konstanta|konstantní]] hodnotu. Např.
:<math>1 + 3 + 5 + 7 + ... = \sum_{n=1}^\infty \left[1 + 2(n-1)\right]=\infty</math>.
* ''[[Harmonická řada]]'' je řada tvaru
:<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty </math>
Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. <math>\lim_{n \to \infty} a_n=0</math>, je součet této řady roven nekonečnu, tedy řada diverguje. Nazývá se harmonická, protože každý člen, kromě prvního, je [[Harmonický průměr|harmonickým průměrem]] sousedních členů.
* ''Řada s kladnými členy'' je taková řada <math>\sum a_n</math>, jejíž všechny členy vyhovují podmínce <math>a_n>0 \,</math>. Řada s kladnými členy má vždy součet.
* ''Alternující řada'' je řada, jejíž členy pravidelně střídají [[Znaménka plus a minus|znaménka]]. Jde tedy o řadu
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1}\left|a_n\right|</math>dy limitu
| |||