Wikipedie

Umocňování: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
→‎top: sjednocení značení
Sjednocení značení, úklid a doplnění úvodu a definice
Řádek 1:
'''Umocňování''' je [[matematika|matematická]] [[Funkce (matematika)|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
:<math>
\underbrace{ az \cdot az \cdot az \cdots az }_{bn \operatorname{-kr\acute{a}t}} =az^bn
</math>
V tomto vzorci se <math>az</math> označuje jako '''základ mocniny''' (mocněnec) a <math>bn</math> se nazývá '''exponent''' (mocnitel). Výsledek je „<math>bn</math>-tá '''mocnina''' čísla <math>az</math>“, „<math>az</math> na <math>bn</math>-tou“. Například <math>3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81</math> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <math>3^4</math>. SpeciálnímExponent případemmůže prázdnéhobýt součinuobecně jereálné, <math>a^0nebo =dokonce 1</math>komplexní číslo (pro <math>a \ne 0</math>, viz [[#Nula na nultou|nížeDefinice]]).
 
TatoSpeciálním funkcepřípadem jeprázdného vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <math>a \ne 0</math>součinu je <math>az^0 = 1</math> a(pro <math>a^{b+1}=a^bz \cdotne a0</math>, jinak viz [[#Nula na nultou]]). Pro nulový základ a kladný exponent (pro <math>a=n>0</math>) jepak platí <math>a0^bn = 0</math> (pro <math>b>0</math>).
 
Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru <code>az^bn</code>, někdy také <code>az**bn</code>.
 
== Zobecnění definiceDefinice ==
 
Mocnina s přirozeným exponentem (<math>n \in \mathbb{N}</math>) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:
Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo|přirozené]] exponenty. [[Záporné číslo|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo|převráceného čísla]]:
:<math>az^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^nz</math>
:<math>az^{\frac{m}{n+1}} =z^n \sqrt[n]{a^m}cdot z</math>.▼
Zobecnění pro [[racionální číslo|racionální]] exponent poskytuje definice:▼
▲:<math>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}</math>.
Zobecnění na celý obor [[reálné číslo|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita|limity]].▼
 
Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu (<math>z \ne 0</math>) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty (<math>n \in \mathbb{Z}</math>):
Mocniny s [[komplexní číslo|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <math>a + b i = r \cdot e^{i\varphi}</math> s reálnými čísly <math>a, b, n, r > 0</math> a <math>\varphi</math>, pak platí (viz [[Moivrova věta|Moivrovu větu]])▼
:<math>z^n = {z^{n+1} \over z}</math>
 
:<math>z^0 = {z \over z} = 1</math>
 
:<math>z^{-n} = {1 \over z^n} = \left( {1 \over z} \right)^n</math>
 
▲ZobecněníDefinici lze dále zobecnit pro [[racionální číslo|racionální]] exponent poskytujes definicevyužitím [[odmocňování]]:
:<math>z^{n \over m} = \sqrt[m]{z^n}</math>
 
▲Zobecnění na celý obor [[reálné číslo|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita|limity]].: Máme-li posloupnost racionálních exponentů <math>\{ n_k \}</math>, která [[konvergence posloupnosti|konverguje]] k reálnému číslu <math>n</math>, pak
: <math>z^n = \lim_{k \to \infty} z^{n_k}.</math>
 
▲Mocniny s [[komplexní číslo|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <math>z = a + b i = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}</math> s reálnými čísly <math>a, b, nr, r\varphi, > 0n</math>, apřičemž <math>r \varphige 0</math>, pak platí (viz [[Moivrova věta|Moivrovu větu]])
:<math>
z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot ([\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))],
</math>
kde argument <math>\varphi</math> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <math>\varphi</math> z intervalu <math>\langle 0; 2\pi)</math> nebo <math>(-\pi; \pi \rangle</math>. TedyKomplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <math>a</math> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce|holomorfní]].▼
 
Pokud je navíc komplexním číslem i exponent <math>an</math>, pak je mocnina dána jako
 
:<math>z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},</math>▼
 
▲:<math>z^an=e^{an \operatorname{Ln}ln z}=e^{a\leftn(\operatorname{ln}|z|+i\varphi + \rightln r)},.</math>
▲kde argument <math>\varphi</math> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <math>\varphi</math> z intervalu <math>\langle 0; 2\pi)</math> nebo <math>(-\pi; \pi \rangle</math>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <math>a</math> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce|holomorfní]].
 
Jiná užitečná definice, z oblasti [[teorie množin]], říká, že <math>a^b = \{f | f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.</math>
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Umocňování“